[論文レビュー] Dynamical systems of type (m,n) and their C*-algebras

Pere Ara, Ruy Exel+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、$n$ 個のコンパクトなハウスドルフ空間が同じ空間の $m$ 個のコピーに位相的に同型であるような力学系から生じる、新しいクラスの C*-代数 $\mathcal{O}_{m,n}$ を導入する。自由群 $\mathbf{F}_{m+n}$ の部分作用を普遍的 $(m,n)$-力学系に構成することにより、著者らは、$m,n \geq 2$ のとき、$\mathcal{O}_{m,n}^r$ が正確かつ非核的であることを示し、有限次元表現をもたないことを証明し、重要な構造的性質を確立する。

ABSTRACT

Given positive integers n and m, we consider dynamical systems in which n copies of a topological space is homeomorphic to m copies of that same space. The universal such system is shown to arise naturally from the study of a C*-algebra we denote by O_{mn}, which in turn is obtained as a quotient of the well known Leavitt C*-algebra L_{mn}, a process meant to transform the generating set of partial isometries of L{mn} into a tame set. Describing O_{mn} as the crossed-product of the universal (m,n)-dynamical system by a partial action of the free group F_{m+n}, we show that O_{mn} is not exact when n and m are both greater than or equal to 2, but the corresponding reduced crossed-product, denoted O_{mn}^r, is shown to be exact and non-nuclear. Still under the assumption that m,n>=2, we prove that the partial action of F_{m+n} is topologically free and that O_{mn}^r satisfies property (SP) (small projections). We also show that O_{mn}^r admits no finite dimensional representations. The techniques developed to treat this system include several new results pertaining to the theory of Fell bundles over discrete groups.

研究の動機と目的

• 空間の $n$ 個のコピーが $m$ 個のコピーに位相的に同型となるような普遍的 $(m,n)$-力学系を定義し、研究すること。
• 生成する部分等長作用素が「穏やか」になるように保証するため、Leavitt 代数 $L_{m,n}$ の商として $\mathcal{O}_{m,n}$ を構成すること。
• 自由群 $\mathbf{F}_{m+n}$ の部分作用による普遍的系とのクロスドプロダクトとして $\mathcal{O}_{m,n}$ を記述すること。
• 特に正確性、核的性、表現論を含む構造的性質を分析することを目的とした、還元クロスドプロダクト $\mathcal{O}_{m,n}^r$ の分析。
• $m,n \geq 2$ のとき、$\mathcal{O}_{m,n}^r$ が有限次元表現をもたないことを証明すること。

提案手法

• コンパクトなハウスドルフ空間 $X$ を、$n$ 個および $m$ 個の互いに素な閉開部分集合に分解し、それぞれが空間 $Y$ に位相的に同型となるように、普遍的 $(m,n)$-力学系を定義する。
• 生成する部分等長作用素が「穏やか」になるように保証するため、Leavitt C*-代数 $L_{m,n}$ の商として $\mathcal{O}_{m,n}$ を構成する。
• 力学系の構造を用いて、自由群 $\mathbf{F}_{m+n}$ の部分作用による普遍的系とのクロスドプロダクトとして $\mathcal{O}_{m,n}$ を実現する。
• フェルバンドル理論および条件付き期待値の技法を用いて、還元クロスドプロダクト $\mathcal{O}_{m,n}^r$ を分析する。
• 自由群 $\mathbf{F}_{m+n}$ の部分作用が位相的に自由であることを証明し、$\mathcal{O}_{m,n}^r$ が性質 (SP)（小さな射影）を満たすことを示す。
• 表現論と核の解析を用いて、$\mathcal{O}_{m,n}^r$ の任意の有限次元表現は恒等的にゼロでなければならないことを示し、これは $C^*_r(\mathbf{F}_2)$ の単純性および無限次元性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的 $(m,n)$-力学系は、自由群の部分作用による C*-代数のクロスドプロダクトとして実現可能か？
• RQ2 $m,n \geq 2$ のとき、還元クロスドプロダクト $\mathcal{O}_{m,n}^r$ の正確性および核的性はどのようにか？
• RQ3 $\mathcal{O}_{m,n}^r$ は有限次元表現をもつのか？
• RQ4 位相的自由性および性質 (SP) は、$\mathcal{O}_{m,n}^r$ の構造にどのような役割を果たすか？
• RQ5 条件付き期待値と商写像は、$\mathcal{O}_{m,n}^r$ の表現論においてどのように作用するか？

主な発見

• $m,n \geq 2$ のとき、$\mathcal{O}_{m,n}$ は非正確なクロスドプロダクト構成から生じるため、正確でない。
• $m,n \geq 2$ のすべての $m,n$ に対して、還元クロスドプロダクト $\mathcal{O}_{m,n}^r$ は正確かつ非核的であり、正確で非核的な C*-代数の新しいクラスを確立する。
• 自由群 $\mathbf{F}_{m+n}$ の部分作用が位相的に自由であるため、$\mathcal{O}_{m,n}^r$ の正確性が裏付けられる。
• $\mathcal{O}_{m,n}^r$ は性質 (SP) を満たしており、任意に小さいトレースを持つ射影を含む。
• $\mathcal{O}_{m,n}^r$ の任意の有限次元表現は恒等的にゼロでなければならないため、非ゼロの有限次元表現をもたない。
• 証明は、有限次元表現の $C^*_r(\mathbf{F}_2)$ の制限が、$C^*_r(\mathbf{F}_2)$ の単純性および無限次元性により消えるという事実に依存する。