[論文レビュー] Dynamics of Automorphisms of Compact Complex Manifolds

De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特に複素射影多様体およびケーラー多様体を含むコンパクト複素多様体上の自己同型および自己準同型の力学的挙動を研究するための代数幾何的枠組みを構築する。コンパクトケーラー多様体上のコホロロジー的双曲的自己準同型は、非正のコイカラ次元をもたらすことが示され、3次元多様体におけるそれらの自己準同型の幾何的構造が分類され、それらがQ-トーラス、弱いカラビ-ヤウ多様体、有理関数の族、あるいは楕円曲線×K3多様体の商に双有理同型であることが示された。

ABSTRACT

We give an algebro-geometric approach towards the dynamics of automorphisms/endomorphisms of projective varieties or compact Kähler manifolds, try to determine the building blocks of automorphisms /endomorphisms, and show the relation between the dynamics of automorphisms/endomorphisms and the geometry of the underlying manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上の自己同型および自己準同型の力学的挙動を、代数幾何的道具を用いて理解すること。
• コホロロジーおよび力学的次数への作用の分析を通じて、自己同型および自己準同型の構成要素を同定すること。
• 写像の力学的挙動と多様体の基本的幾何構造との関係を明確化すること、特にエントロピーおよびコイカラ次元との関係において。
• コンパクトケーラー多様体上のコホロロジー的双曲的自己準同型は、コイカラ次元 ≤ 0 であるという予想を証明すること。
• コホロロジー的双曲的エタール自己準同型をもつ射影的3次元多様体の幾何的構造を分類すること。

提案手法

• コホロロジーへの誘導作用のスペクトル半径を用いて、位相的エントロピーを定義し、写像を正エントロピーまたはゼロエントロピーに分類する。
• 力学的次数 $d_i(f)$ の概念を適用し、$e^{h(f)} = \max_i d_i(f)$ を通じてスペクトル半径と関連付ける。
• 射影的多様体上での力学的性質の双有理不変性を保証するため、$g$-不変解消を用いる。
• 最大有理的連結性ファイブレーションおよびエタール自己準同型の構造を用いて、力学的挙動を幾何的成分に分解する。
• 結果 [NZ] および [Zh2] を応用し、双有理的モデルおよび有限群作用を通じて3次元多様体上の自己準同型を分類する。
• コホロロジー的双曲性を特徴付けるために、カホフスキー＝テッサー不等式を適用し、ある力学的次数が他を厳密に支配することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型の力学的次数構造と、それに対応するコンパクト複素多様体の幾何構造との間にはどのような関係があるか？
• RQ2 コホロロジー的双曲的自己準同型が非正のコイカラ次元をもたらす条件は何か？
• RQ3 コホロロジー的双曲的自己準同型をもつコンパクトケーラー多様体の可能な幾何的モデルは何か？
• RQ4 プリミティブ正エントロピーおよび剛性的放物型自己同型の概念は、力学的挙動の分類をどのように精緻化するか？
• RQ5 力学的次数が $d_2(f) > d_1(f) \geq \deg(f) \geq 2$ を満たす場合、3次元多様体上の自己準同型の構造は完全に分類可能か？

主な発見

• コンパクトケーラー多様体上のコホロロジー的双曲的自己準同型は、必然的にコイカラ次元 ≤ 0 をもつ。
• コホロロジー的双曲的エタール自己準同型をもつ射影的3次元多様体では、5つの双有理型のうちのいずれかが成立する：Q-トーラス、弱いカラビ-ヤウ多様体、有理関数の族、ピカール数 ≥ 11 の楕円曲線ファイブレーション、または楕円曲線×K3多様体の商。
• 楕円曲線ファイブレーションおよびK3-商構造のケースでは、力学的次数が $d_2(f) > d_1(f) \geq \deg(f) \geq 2$ を満たす。
• 位相的エントロピー $h(f)$ は $\log \rho(f^*|H^*(X,\mathbb{C}))$ に等しく、これは力学的次数 $d_i(f)$ の最大値に一致する。
• 解消の選択に依存しない分類が可能である。これは、解消の $g$-不変双有理支配性による。
• 次元 ≤ 2 の場合、任意の正エントロピー自己同型は、正エントロピーをもつ非自明なファイブレーションや周期的ベースをもたないため、必然的にプリミティブ正エントロピーである。