[論文レビュー] Dynamics of gravitational clustering V. Subleading corrections in the quasi-linear regime

Patrick Valageas|ArXiv.org|Sep 24, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 22被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、小スケールのカットオフがない階層的モデルにおいて、重力的クラスタリングの準線形領域における標準的摂動展開の破綻を調査し、有限の順序 $q_+$ を超えて発散が生じることを示している。これらの発散にもかかわらず、一次項の予測は正当であることが、勾配降下法およびバーガース方程式との類似性によって確認されており、摂動論が $q_+$ まで信頼できることが示唆されている。それ以降は、$σ^2(R)$ のべき乗から他の $1/R$ 組み合わせへの大規模展開への移行が必要となる。

ABSTRACT

We investigate the properties of the standard perturbative expansions which describe the early stages of the dynamics of gravitational clustering. We show that for hierarchical scenarios with no small-scale cutoff perturbation theory always breaks down beyond a finite order $q_+$. Besides, the degree of divergence increases with the order of the perturbative terms so that renormalization procedures cannot be applied. Nevertheless, we explain that despite the divergence of these subleading terms the results of perturbation theory are correct at leading order because they can be recovered through a steepest-descent method which does not use such perturbative expansions. Finally, we investigate the simpler cases of the Zel'dovich and Burgers dynamics. In particular, we show that the standard Burgers equation exhibits similar properties. This analogy suggests that the results of the standard perturbative expansions are valid up to the order $q_+$ (i.e. until they are finite). Moreover, the first ``non-regular'' term of a large-scale expansion of the two-point correlation function should be of the form $R^{-2} σ^2(R)$. At higher orders the large-scale expansion should no longer be over powers of $σ^2$ but over a different combination of powers of 1/R. However, its calculation requires new non-perturbative methods.

研究の動機と目的

• 重力的クラスタリングの準線形領域における標準的摂動展開の破綻を理解すること。
• 小スケールのカットオフがない階層的シナリオにおける発散する補助項の意味を調査すること。
• 発散する摂動的級数に依存しない非摂動的勾配降下法と結びつけることで、発散にもかかわらず一次項摂動結果の正しさを検証すること。
• ゼルドービッチおよびバーガース力学との類似性を用いて、摂動論の有効範囲を推察すること。
• 大規模な2点相関関数展開において $σ^2(R)$ を超える最初の正則でない項の形を特定すること。

提案手法

• 膨張宇宙における運動方程式から標準的摂動展開を導出し、密度パラメータと速度発散の時間因子分解展開を用いる。
• フーリエ空間における摂動項の振る舞いを分析し、$n > -3$ の階層的スペクトルにおいて高次項の収束性と発散性に注目する。
• 発散する摂動的級数に依存しない勾配降下法を用いて、密度パラメータの一次項積率を導出する。
• 重力的ダイナミクスと1次元バーガース方程式を比較し、有限の破綻順序 $q_+$ と類似した発散パターンを示す共通の性質を同定する。
• 大規模展開技術を用いて2点相関関数の関数的形を検討し、$σ^{2q}$ の動作を超える最初の非正則項が $R^{-2}\sigma^2(R)$ であることを特定する。
• カットオフスケール $R_c$ と $R_0$ の役割を検討し、これらのスケールの相対的サイズに応じて摂動論が有効であるか、破綻するかを区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小スケールのカットオフがない状況において、重力的クラスタリングの標準的摂動展開が、発散する補助項のため、どの順序 $q_+$ で破綻するか。
• RQ2 高次項の発散にもかかわらず、摂動論の一次項結果が正当である可能性は存在するか。
• RQ3 バーガース方程式との類似性は、重力的クラスタリングにおける摂動論的結果の有効性と構造にどのように影響を与えるか。
• RQ4 $σ^2(R)$ を超える大規模展開において、2点相関関数の最初の非正則項の関数的形は何か。
• RQ5 $q_+$ の有限順序を超えて摂動論が失敗する領域を記述するために、どのような新しい非摂動的手法が必要か。

主な発見

• 小スケールのカットオフがない階層的シナリオにおいて、重力的クラスタリングの摂動展開は、順序が上昇するにつれて発散が増大するため、有限の順序 $q_+$ を超えて破綻する。
• 補助項の発散にもかかわらず、密度パラメータの積率に対する一次項の予測は正しい。これは、発散する級数に依存しない勾配降下法によって独立に導出可能であるためである。
• バーガース方程式との類似性により、摂動論が $q_+$ まで有効であることが確認され、この点以降では大規模展開の性質に顕著な変化が生じることを示唆している。
• 大規模展開における2点相関関数の最初の非正則項は $R^{-2}\sigma^2(R)$ の形をとり、単純な $σ^{2q}$ のべき乗依存とは異なることを示している。
• $q_+$ を超える領域では、大規模展開が $σ^2(R)$ のべき乗ではなく、他の $1/R$ 組み合わせを用いる必要があり、計算には新しい非摂動的手法が必要となる。
• 数値シミュレーションは、$n < -1$ の場合に摂動論が次に高い順序まで有効であることを支持しており、$q_+$ までの項が有限の振る舞いを示すことに一致している。