[論文レビュー] Dynamics of the Teichmueller flow on compact invariant sets

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|May 25, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、面積1の二次微分形式のモジュライ空間のコン pactな不変部分集合上のテイヒミュラー力学が拡張可能であることを確立し、周期軌道の漸近的成長率と力学のトポロジカルエントロピーの関係を示している。主な結果は、すべてのコンパクト不変集合におけるこの成長率の上界が $6g - 6 + 2m$ に一致し、一意な不変レベーグ測度のメトリックエントロピーに一致することである。

ABSTRACT

Let Q(S) be the moduli space of area one holomorphic quadratic differentials for an oriented surface S of genus g with m punctures and 3g-3+m>1. We show that the supremum over all compact subsets K of Q(S) of the asymptotic growth rate of the number of periodic orbits of the Teichmueller flow which are contained in K equals h=6g-6+2m. Moreover, h is also the supremum of the topological entropies of the restriction of the Teichmueller flow to compact invariant subsets of Q(S).

研究の動機と目的

• 面積1の二次微分形式のモジュライ空間のコンパクト不変部分集合に制限されたテイヒミュラー力学のダイナミカルな挙動を理解すること。
• このような集合における周期軌道の漸近的成長率を力学のトポロジカルエントロピーに関連付けること。
• すべてのコンパクト不変集合におけるこの成長率の上界が $6g - 6 + 2m$ に一致することを確立すること。これは、不変レベーグ測度のメトリックエントロピーに一致する。
• $\hat{\cal Q}(S) = {\cal Q}^1(S)/\Gamma$ のコンパクト不変部分集合上でテイヒミュラー力学が拡張可能であることを示すこと。ここで $\Gamma < {\rm Mod}(S)$ は、有限指数のねじれなし正規部分群である。
• 任意のコンパクト不変集合における力学のトポロジカルエントロピーが、その集合の近傍と交わる周期軌道の対数的成長率によって上から抑えられることを証明すること。

提案手法

• 曲線グラフ $\mathcal{C}(S)$ 及びその準等長的性質を用いて、テイヒミュラー空間の幾何とテイヒミュラー力学のダイナミクスを分析する。
• コンパクト不変集合上のテイヒミュラー力学にアノソフの閉じる補題を適用し、曲線グラフにおける軌道射影の準測地線的性質を利用する。
• 周期軌道が写像類群 ${{\rm Mod}}(S)$ 内の擬アイソメトリック要素の共轭類に一致することを活用し、コンパクト集合との有界な交わりを介して共轭を制御する。
• 変分原理を用い、トポロジカルエントロピーと不変測度のメトリックエントロピーを関連づけ、レベーグ類における一意な最大エントロピー測度を利用する。
• 固定されたコンパクト近傍を通る軸を持つ擬アイソメトリック要素の半群 $\Lambda \subset {\rm Mod}(S)$ を構成し、軌道成長に対する一様な制御を可能にする。
• テイヒミュラー空間内の有界集合内での与えられた要素の共轭数の上限を用いて、固定されたコンパクト集合内における周期軌道数の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テイヒミュラー力学がコンパクト不変集合 $K$ に制限されたとき、周期軌道の漸近的成長率 $\delta(K)$ は何か？
• RQ2 $\delta(K)$ は、$K$ 上の力学のトポロジカルエントロピー $h_{\rm top}(K)$ とどのように関係しているか？
• RQ3 すべてのコンパクト不変部分集合 $K$ における $\delta(K)$ の上界は何か？
• RQ4 テイヒミュラー力学は、${{\rm Mod}}(S)$ のねじれなし正規部分群 $\Gamma$ の有限指数部分群による商空間 $\hat{\cal Q}(S)$ のコンパクト不変部分集合上で拡張可能か？
• RQ5 固定されたコンパクト集合に閉じ込められた周期軌道の成長率が、任意の $\epsilon > 0$ に対して $e^{(h - \epsilon)r}/cr$ で下から抑えられるか？

主な発見

• すべての $\hat{\cal Q}(S)$ のコンパクト不変部分集合上でテイヒミュラー力学は拡張可能であり、周期軌道が分離され、ダイナミクスが構造的に安定している。
• 任意のコンパクトかつトポロジカルに推移的な不変集合 $K \subset \hat{\cal Q}(S)$ に対して、$\limsup_{r\to\infty} \frac{1}{r}\log n_K(r) \leq h_{\rm top}(K) \leq \liminf_{r\to\infty} \frac{1}{r}\log n_U(r)$ が成り立ち、$K$ の任意の近傍 $U$ に対して成り立つ。
• ${\cal Q}^1(S)/{\rm Mod}(S)$ のすべてのコンパクト部分集合 $K$ における $\delta(K)$ の上界は、正確に $6g - 6 + 2m$ に一致し、一意な不変レベーグ測度のメトリックエントロピーに一致する。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\liminf_{r\to\infty} \frac{1}{r}\log n_K(r) \geq h - \epsilon$ を満たすコンパクト部分集合 $K \subset {\cal Q}^1(S)/{\rm Mod}(S)$ が存在する。これにより、エントロピーが上界として実現されることを証明する。
• 十分大きな $r$ に対して、固定されたコンパクト集合 $C$ 内に含まれる長さ $r$ 以下の周期軌道の数は、ある $c > 0$ に対して、$e^{(h - \epsilon)r}/cr$ よりも速く増加する。
• 結果は $\hat{\cal Q}(S)$ に拡張可能であり、$\hat{\cal Q}(S)$ 上のレベーグ測度のメトリックエントロピー $h$ は、コンパクト不変部分集合上のトポロジカルエントロピーの上界に一致する。