[論文レビュー] E2N: Error Estimation Networks for Goal-Oriented Mesh Adaptation

Joseph G. Wallwork, Jingyi Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

この論文では、目的関数に向けたメッシュ適応における計算コストの高いアドジョイントに基づく誤差推定を置き換えるデータ駆動型ニューラルネットワークフレームワーク、E2Nを提案する。メッシュと物理的特徴を用いて要素ごとの誤差寄与を予測するニューラルネットワークを訓練することで、E2Nは従来の手法と同等の精度を達成しながら、著しく低い計算コストで実現した。このことは、出力電力を目的関数とする潮流タービンファームのシミュレーションで実証された。

ABSTRACT

Given a partial differential equation (PDE), goal-oriented error estimation allows us to understand how errors in a diagnostic quantity of interest (QoI), or goal, occur and accumulate in a numerical approximation, for example using the finite element method. By decomposing the error estimates into contributions from individual elements, it is possible to formulate adaptation methods, which modify the mesh with the objective of minimising the resulting QoI error. However, the standard error estimate formulation involves the true adjoint solution, which is unknown in practice. As such, it is common practice to approximate it with an 'enriched' approximation (e.g. in a higher order space or on a refined mesh). Doing so generally results in a significant increase in computational cost, which can be a bottleneck compromising the competitiveness of (goal-oriented) adaptive simulations. The central idea of this paper is to develop a "data-driven" goal-oriented mesh adaptation approach through the selective replacement of the expensive error estimation step with an appropriately configured and trained neural network. In doing so, the error estimator may be obtained without even constructing the enriched spaces. An element-by-element construction is employed here, whereby local values of various parameters related to the mesh geometry and underlying problem physics are taken as inputs, and the corresponding contribution to the error estimator is taken as output. We demonstrate that this approach is able to obtain the same accuracy with a reduced computational cost, for adaptive mesh test cases related to flow around tidal turbines, which interact via their downstream wakes, and where the overall power output of the farm is taken as the QoI. Moreover, we demonstrate that the element-by-element approach implies reasonably low training costs.

研究の動機と目的

• 有限要素シミュレーションにおける目的関数に向けた誤差推定の計算ボトル neck を軽減すること、特に高価なアドジョイント解の近似に起因するものである。
• 豊富な有限要素空間の構築を回避する、従来の誤差推定の代替としてのデータ駆動型手法を開発すること。
• 訓練されたニューラルネットワークを用いて、局所的な誤差寄与を予測する要素ごとのメッシュ適応を効率的に行えるようにすること。
• 潮流タービンを含む現実的な沿岸海洋モデリング問題において、この手法の実現可能性と効率性を示すこと。
• 今後の研究において、時間依存問題や複雑な幾何形状へのこの手法の拡張を検討すること。

提案手法

• この手法は、局所的なメッシュ幾何と問題の物理パrameterに基づいて、目的関数に向けた誤差推定の要素ごとの寄与を予測するニューラルネットワークを用いる。
• 入力特徴には要素のサイズ、形状、方向、および解の勾配が含まれる。出力は、メッシュ適応のための局所的誤差指標である。
• ネットワークは、真のアドジョイント解を近似するために豊富な有限要素空間を用いた高精度な有限要素シミュレーションから得たデータを用いて訓練される。
• このアプローチは、アドジョイント問題の明示的解法を避けることで、シミュレーションデータから直接誤差寄与のマッピングを学習する。
• メッシュ適応は、予測された誤差指標を用いて、誤差が高めに推定される要素を refining することで実行され、目的関数の誤差を最小化する。
• フレームワークは、検証のための潮流タービンファームのケースに適応するため、Thetis沿岸海洋モデルおよびMmgメッシュ適応ライブラリと統合されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アドジョイント問題を解かずに、目的関数に向けたメッシュ適応における要素ごとの誤差寄与を効果的に予測できるニューラルネットワークを訓練できるか？
• RQ2 提案されたデータ駆動型誤差推定手法は、従来の手法と同等の精度を達成しながら、計算コストを削減できるか？
• RQ3 ニューラルネットワークベースの誤差推定器の性能は、メッシュの細分化や問題の複雑さに伴ってどのようにスケーリングするか？
• RQ4 この手法は、異なる境界条件、空間的に変化する粘性、非凸領域を含むような複雑な幾何形状に対しても一般化可能か？
• RQ5 時間依存問題、例えば潮流が逆転するような流れに対して、この手法をどのように拡張できるか？

主な発見

• E2N手法は、従来のアドジョイントに基づく手法と同等の誤差推定の精度を達成し、計算コストを顕著に削減した。
• ニューラルネットワークアプローチにより、豊富な有限要素空間の構築の必要がなくなり、それに伴う高い計算オーバーヘッドを回避した。
• 要素ごとの訓練戦略により、データ量と訓練コストが低く抑えられ、効率的な展開が可能になった。
• この手法は、潮流タービンファームのシミュレーションにおいて、誤差が高くなる領域を的確に特定し、出力電力の誤差を最小化するための効果的なメッシュ細分化を可能にした。
• 予備的な結果では、境界条件の変動や幾何形状の変化に対しても、この手法は頑健であることが示唆されたが、より広範な一般化にはさらなる訓練データが必要である可能性がある。
• フレームワークは時間依存問題へも拡張可能であり、空間的要素ごとの学習と同様に、時間ステップごとの訓練を想定したアプローチが提案されている。