[論文レビュー] Edge-exchangeable graphs and sparsity

Tamara Broderick, Diana Cai|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、Aldous–Hoover定理により本質的に稠密であることが保証される従来のノード交換可能性モデルとは対照的に、エッジ交換可能性のランダムグラフを導入する。エッジではなくノードに対して交換可能性を再定義することで、著者らはエッジ交換可能性が、ノード数の2乗未満の速度でエッジ数が増加するスパースなグラフモデルを可能にし、プロジェクト型推論をサポートするとともに、現実のネットワークのスパarsityと整合することを示した。

ABSTRACT

A known failing of many popular random graph models is that the Aldous-Hoover Theorem guarantees these graphs are dense with probability one; that is, the number of edges grows quadratically with the number of nodes. This behavior is considered unrealistic in observed graphs. We define a notion of edge exchangeability for random graphs in contrast to the established notion of infinite exchangeability for random graphs --- which has traditionally relied on exchangeability of nodes (rather than edges) in a graph. We show that, unlike node exchangeability, edge exchangeability encompasses models that are known to provide a projective sequence of random graphs that circumvent the Aldous-Hoover Theorem and exhibit sparsity, i.e., sub-quadratic growth of the number of edges with the number of nodes. We show how edge-exchangeability of graphs relates naturally to existing notions of exchangeability from clustering (a.k.a. partitions) and other familiar combinatorial structures.

研究の動機と目的

• ノード交換可能性のランダムグラフモデルに内在する根本的制限に取り組むこと。これはAldous–Hoover定理により、常に稠密であることが保証されるためである。
• エッジの置換がグラフ系列の同時分布を不変に保つような、エッジ交換可能性の新しい概念を提案すること。
• エッジ交換可能性が、ノード数の2乗未満の速度でエッジ数が増加するスパースなグラフモデルを可能にすることを示すこと。ノード交換可能性モデルとは対照的である。
• エッジ交換可能性グラフと既存の交換可能性構造（分割、特徴割り当て、グラフ周波数モデルなど）との関係を確立すること。
• 完全にランダムな測度とポアソン的・ベルヌーイ的エッジ包含プロセスを用いた、エッジ交換可能性グラフを構築する理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• エッジ交換可能性グラフを、$E_1 \triangleq E_1, E_2, \ldots$ というエッジ集合の列として定義する。ここで $E_m \subseteq E_n$ が $m < n$ のとき成り立ち、エッジインデックスの置換に対して同時分布が不変である。
• 完全にランダムな測度 $B = \sum_{k=1}^\infty V_k \delta_{\phi_k}$ を用いて、エッジ周波数モデルとしてグラフを表現する。ここで各エッジタイプ $\phi_k$ にはランダムな周波数 $V_k$ が対応する。
• 各時刻でエッジタイプ $\phi_k$ を確率 $V_k$ で独立に含めること、またはレート $\lambda$ のポアソンスプライシング機構を用いて含めることで、エッジ交換可能性グラフを構築する。
• エッジ交換可能性グラフプロセス（EGP）を導入し、エッジ交換可能性グラフプロセス（EGPF）の存在が、完全にランダムな測度に基づくグラフ周波数モデルと同値であることを示す。
• 複数のエッジ追加と各ステップでの重複度を許容する枠組みを拡張し、エッジ追加ステップにおける無限交換可能性を定義する。
• エッジ交換可能性グラフと既存の組合せ的構造（分割、特徴割り当てなど）との関係を示し、交換可能性の原則における自然な類似性を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Aldous–Hoover定理が強制する二次的エッジ増加の制約を回避できる、ランダムグラフの交換可能性の概念を定義できるか？
• RQ2 エッジ交換可能性は、プロジェクト性を維持し、ストリーミングまたは分散推論を可能にするスパースなランダムグラフモデルの構築を可能にするか？
• RQ3 エッジ交換可能性は、分割、特徴割り当て、完全にランダムな測度といった既存の交換可能性構造とどのように関係するか？
• RQ4 エッジ交換可能性グラフと完全にランダムな測度に基づくグラフ周波数モデルとの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 エッジ交換可能性モデルは、現実のネットワークで観察されるべきべき分布やその他の重尾度分布を支持できるか？

主な発見

• エッジ交換可能性は、Aldous–Hoover定理による二次的エッジ増加の保証を回避する、必ずしも稠密でないランダムグラフの枠組みを提供する。
• エッジ交換可能性グラフプロセス（EGPF）の存在は、測度 $\nu(dw,d\phi) = \nu(dw)G(d\phi)$ を持つ完全にランダムな測度に基づくグラフ周波数モデルと同値である。
• エッジタイプ $\phi_k$ を各時刻で確率 $V_k$ で独立に含めることで、エッジ交換可能性グラフのクラスを生成できる。ここで $V_k$ は完全にランダムな測度からの周波数である。
• 各ステップでポアソン分布に従う新しい固有エッジを追加することで、EGPFを有するエッジ交換可能性グラフを生成でき、すべてのこのようなグラフはこの構成から生じる。
• 重複度と1ステップあたりの複数エッジ追加をサポートするため、枠組みは特徴割り当てに一般化され、より洗練されたグラフダイナミクスを可能にする。
• この枠組みは、CaronとFox（2015）が提案した既存のスパースモデルを自然に拡張し、広範なエッジ交換可能性確率的構造に統合する。