[論文レビュー] Effective algebraic degeneracy of entire curves in complements of smooth projective hypersurfaces

Lionel Darondeau|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Meromorphic and Entire Functions参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、十分に高い次数の一般な滑らかな射影的超曲面の補集合における非定数の整関数的正則曲線の有効な代数的退化性を確立する。Siuの外在的アプローチとDemaillyおよびDemailly–Luの内在的ジェット微分形式技法を組み合わせ、次数 $d \geq (5n)^2 n^n$ のとき、すべてのこのような曲線が超曲面の補集合内での余次元2以上の部分多様体に制約されることを証明する。

ABSTRACT

In this work, it is established that for a generic projective hypersurface $H\subset\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ of degree $d\geq(5n)^2\,n^{n}$, any holomorphic entire curve $f\colon\mathbb{C} o\mathbb{P}^n(\mathbb{C})\setminus H$ has its image contained in a proper algebraic subvariety $Z\subsetneq\mathbb{P}^{n}(\mathbb{C})$, that does not depend on the curve $f$. Here generic means that the coefficients of the defining equation of $H$ have to lie outside of a proper algebraic subvariety of the projective space of coefficients of homogeneous polynomials of degree $d$ (that parametrizes the algebraic hypersurface of degree $d$ in $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$). The proof closely follows the work of Diverio, Merker and Rousseau (Diverio-Merker-Rousseau 2009), thus it is based on the strategy of Siu (Siu 2002, 2004) and techniques of Demailly (Demailly 1995, Diverio 2009) (already adapted to the logarithmic setting by Dethloff and Lu in 2001). It also include an improved adaptation of the contribution of Berczi (Berczi 2010).

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^n$ 内の一般な滑らかな射影的超曲面の補集合における非定数の整関数的正則曲線の有効な代数的退化性を確立すること。
• すべての非定数の整関数的曲線が余次元2以上の部分多様体に避けるように保証する明示的な次数の下界 $d \geq (5n)^2 n^n$ を提供すること。
• 次元 $n=2$ および $n=3$ の既知の結果を、ジェット微分形式と対数幾何に基づく統一的な手法によって任意の次元に拡張すること。
• 対数的設定における不変ジェット微分形式を構成し、弱代数的モース不等式を用いてそのコhomologyを制御すること。
• Demaillyの塔における交差積 $I(d)$ を計算し、望ましい退化性を保証するための正の性を保証する最大根を推定すること。

提案手法

• 問題を $\mathbb{P}^N$ 内の完全交差に持ち上げる補題を用い、より構造的な設定に還元する。
• Siuの外在的戦略とDemaillyの内在的ジェット微分形式法を、DethloffとLuの仕事により対数的設定に適応して適用する。
• 弱代数的モース不等式を用いてジェット微分形式のコhomologyを制御し、重要な交差積 $I(d)$ の正の性を保証する。
• 多変数留数公式（Bercziの研究の一般化）を用い、ジェットバンドルの射影化の塔であるDemaillyの塔に沿って積分する。
• 多変数形式的級数のコーシー積における支配的項を特定し、取り扱いやすい係数を持つ簡略化された多項式 $\widetilde{I}(d)$ を定義する。
• パrameter $\underline{a}$ と $\delta$ に関する数値的条件の下で、$I(d)$ の最大根を $\widetilde{I}(d)$ の最大根 $\widetilde{\lambda}$ と関連付けて推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的超曲面 $H \subset \mathbb{P}^n$ の次数 $d$ がどの程度の有効な下限であれば、すべての非定数の整関数的曲線 $f: \mathbb{C} \to \mathbb{P}^n \setminus H$ が代数的に退化するか？
• RQ2 一般の超曲面の補集合における整関数的曲線の代数的退化性は、明示的かつ有効な次数 $d$ の下限を用いて確立可能か？
• RQ3 対数的設定における不変ジェット微分形式の構成のため、Demaillyの塔における交差積 $I(d)$ の正の性をどのように保証できるか？
• RQ4 多変数コーシー積における複雑な係数をどの程度推定できるか、$I(d)$ の最大根を制御する上でその影響は何か？
• RQ5 簡略化された多項式 $\widetilde{I}(d)$ は、元の交差積 $I(d)$ の挙動を近似するために果たす役割は何か？

主な発見

• 一般な滑らかな射影的超曲面 $H \subset \mathbb{P}^n$ が次数 $d \geq (5n)^2 n^n$ を満たすとき、すべての非定数の整関数的正則曲線 $f: \mathbb{C} \to \mathbb{P}^n \setminus H$ は、$\mathbb{P}^n$ 内の余次元2以上の部分多様体 $Z \subset \mathbb{P}^n$ に制約される。
• このような部分多様体 $Z$ の存在は、DemaillyおよびDethloff–Luの手法に基づく対数的設定における不変ジェット微分形式の構成によって確立される。
• 適切なパrameter $\underline{a}$ と $\delta$ の選択の下で、Demaillyの塔における重要な交差積 $I(d)$ が正であることが示され、非自明なジェット微分形式の存在が保証される。
• $I(d)$ の最大根は、その最大根 $\widetilde{\lambda}$ が明示的に計算可能な簡略化多項式 $\widetilde{I}(d)$ を分析することで推定される。
• $\left|\mathsf{B}\right|\left(\frac{2n\mu h}{a_1}, \dotsc, \frac{2n\mu h}{a_\kappa}\right)$ は $\left(\frac{2n}{2n-1}\right)^{n+1}$ で上から抑えられ、これは一様有界であり、$n \to \infty$ のとき $e^{1/2}$ に収束する。
• $d \geq (5n)^2 n^n$ の下限は、$I(d)$ の先頭係数の正の性と根の推定を保証する $\underline{a}$ と $\delta$ に関する数値的条件から導出される。