[論文レビュー] Efficient Domination for Some Subclasses of $P_6$-Free Graphs in Polynomial Time

Andreas Brandstädt, Elaine M. Eschen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特定の $P_6$-free グラフの部分クラスにおいて、効率的支配（ED）および重み付き効率的支配（WED）問題に対して多項式時間アルゴリズムを確立している。その根拠は、このようなグラフの平方が、ある条件下で弦的または完璧であることを示したことにある。主な貢献は、$(P_6, \text{house})$-free および $(P_6, \text{bull})$-free グラフにおいて ED/WED が多項式時間で解けることの証明であり、さらに $(P_6, \text{house, hole, domino})$-free グラフに対しても、$P_6$-free グラフの複雑さの地図における未解決事項を解消している。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite undirected graph. A vertex {\em dominates} itself and all its neighbors in $G$. A vertex set $D$ is an {\em efficient dominating set} (\emph{e.d.}\ for short) of $G$ if every vertex of $G$ is dominated by exactly one vertex of $D$. The \emph{Efficient Domination} (ED) problem, which asks for the existence of an e.d.\ in $G$, is known to be \NP-complete even for very restricted graph classes such as $P_7$-free chordal graphs. The ED problem on a graph $G$ can be reduced to the Maximum Weight Independent Set (MWIS) problem on the square of $G$. The complexity of the ED problem is an open question for $P_6$-free graphs and was open even for the subclass of $P_6$-free chordal graphs. In this paper, we show that squares of $P_6$-free chordal graphs that have an e.d. are chordal; this even holds for the larger class of ($P_6$, house, hole, domino)-free graphs. This implies that ED/WeightedED is solvable in polynomial time for ($P_6$, house, hole, domino)-free graphs; in particular, for $P_6$-free chordal graphs. Moreover, based on our result that squares of $P_6$-free graphs that have an e.d. are hole-free and some properties concerning odd antiholes, we show that squares of ($P_6$, house)-free graphs (($P_6$, bull)-free graphs, respectively) that have an e.d. are perfect. This implies that ED/WeightedED is solvable in polynomial time for ($P_6$, house)-free graphs and for ($P_6$, bull)-free graphs (the time bound for ($P_6$, house, hole, domino)-free graphs is better than that for ($P_6$, house)-free graphs). The complexity of the ED problem for $P_6$-free graphs remains an open question.

研究の動機と目的

• 特定の $P_6$-free グラフおよび関連部分クラスにおける効率的支配（ED）問題の未解決な計算複雑性状態を解消すること。
• 効率的支配集合をもつ $P_6$-free グラフの平方が弦的または完璧である条件を同定すること。
• グラフの平方の構造的性質を活用して、ED/WED の多項式時間解法を既知のグラフクラスを超えて拡張すること。
• $P_k$-free な弦的グラフに対して、$P_7$-free 弦的グラフでは NP-困難、$P_6$-free 弦的グラフでは多項式時間で解けるという二分法的結果を示すこと。
• $P_6$-free グラフの平方における $C_4$ 実現可能性および奇数の反ハットの構造を調査し、アルゴリズム的還元を可能にすること。

提案手法

• グラフ $G$ における ED 問題を、$G$ の平方 $G^2$ における最大重み独立集合（MWIS）問題に還元すること。
• $(P_6, \text{HHD})$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ が弦的であることを証明し、既知のアルゴリズムにより多項式時間での MWIS を可能にする。
• $P_6$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ が穴を含まないことを確立する。これは完璧性への重要なステップである。
• $G^2$ における $C_4$ 実現可能性を分析し、$G$ が $P_6$-free かつ効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ の奇数反ハットは非常に制限された構造を持つ必要があることを示す。
• 強い完璧グラフ定理を適用して、$G$ が $(P_6, \text{house})$-free または $(P_6, \text{bull})$-free であり、かつ効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ が完璧であることを結論づける。
• MWIS 問題が完璧グラフ上で多項式時間で解けるという事実を活用し、それぞれのグラフクラスにおける ED/WED の多項式時間アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $P_6$-free 弦的グラフにおいて、効率的支配問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 $P_6$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、その平方が弦的または完璧である条件は何か？
• RQ3 $P_6$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ における $C_4$ 実現可能性が課す構造的制約は何か？
• RQ4 $(P_6, \text{house})$-free および $(P_6, \text{bull})$-free グラフにおいて、ED 問題は多項式時間で解けるか？
• RQ5 任意の $P_6$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ は完璧であるという予想は真であるか？

主な発見

• $P_6$-free かつ $(\text{house, hole, domino})$-free グラフにおいて、$G$ に効率的支配集合が存在する場合、$G^2$ は弦的である。これにより、弦的グラフにおける MWIS の多項式時間アルゴリズムを用いて ED/WED を多項式時間で解ける。
• $P_6$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ は穴を含まない。これは完璧性の必要条件ではあるが十分条件ではない。
• $(P_6, \text{house})$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ は穴を含まず、奇数反ハットも含まないため、強い完璧グラフ定理により完璧である。
• $(P_6, \text{bull})$-free グラフに効率的支配集合をもつ場合、$G^2$ は奇数反ハットを含まないため、$G^2$ は完璧である。
• $(P_6, \text{house})$-free および $(P_6, \text{bull})$-free グラフにおいて、ED および WED 問題は $G^2$ の完璧性のおかげで多項式時間で解ける。
• 一般の $P_6$-free グラフにおける ED 問題の複雑さは未解決のままであるが、本稿は、このようなグラフにおいて $G^2$ が完璧であるという予想を強く支持する構造的証拠を提供している。