[論文レビュー] Efficient k-Party Voting with Two Choices.

Robert Elsässer⋆, Tom Friedetzky+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Distributed systems and fault tolerance参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、完全グラフにおけるkパーティのコンセンサスのための修正された2選択投票プロトコルを提案する。ノードはサンプリングされた隣接ノードの意見を採用し、段階ベースのビット機構を介してそれを伝搬する。初期の意見差がΩ(√(n log n))である場合、このプロトコルは高確率でO(k log n)ステップで多数派の意見に収束することが示され、標準プロトコルの性能を著しく上回る。

ABSTRACT

We consider the problem of distributed $k$-party voting with two choices as well as a simple modification of this protocol in complete graphs. In the standard version, we are given a graph in which every node possesses one of $k$ different opinions at the beginning. In each step, every node chooses two neighbors uniformly at random. If the opinions of the two neighbors coincide, then this opinion is adopted. It is known that if $k=2$ and the difference between the two opinions is $\Omega(\sqrt{n \log n})$, then after $\mathcal{O}(\log n)$ steps, every node will possess the largest initial opinion, with high probability. We show that if $k =\mathcal{O}(n^\epsilon)$ for some small $\epsilon$, then this protocol converges to the initial majority within $\mathcal{O}(k\log{n})$ steps, with high probability, as long as the initial difference between the largest and second largest opinion is $\Omega(\sqrt{n \log n})$. Furthermore, there exist initial configurations where the $\Theta(k)$ bound on the run time is matched. If the initial difference is $\mathcal{O}(\sqrt{n})$, then the largest opinion may loose the vote with constant probability. To speed up our process, we consider the following variant of the two-choices protocol. The process is divided into several phases, and in the first step of a phase every node applies the two choices protocol. If a new opinion is adopted, the node remembers it by setting a certain bit to true. In the subsequent steps of that phase, each node samples one neighbor, and if the bit of this neighbor is set to true, then the node takes the opinion of this neighbor and sets its bit to true as well. At the end of the phase, the bits are reset to false. Then, the phases are repeated several times. We show that this modified protocol improves significantly over the standard two-choices protocol.

研究の動機と目的

• ノードが2つの選択肢を持つkパーティ設定における標準2選択投票プロトコルの収束時間の分析。
• 初期の意見差が小さい場合に標準プロトコルが多数派の意見に収束しない条件の同定。
• 段階ベースのビット機構を介して意見を伝搬させることで収束を加速する修正プロトコルの設計と分析。
• 初期の意見差の変動に応じた収束時間と失敗確率の理論的境界の確立。

提案手法

• 各ステップで標準プロトコルを適用：各ノードは2つのランダムな隣接ノードをサンプリングし、それらの意見が一致する場合に限り、その意見を採用する。
• 修正されたプロトコルでは段階を導入：各段階の初期に、ノードは2選択ルールを適用し、新しい意見を採用した場合にのみ「ビット」をtrueに設定する。
• 段階の残りの期間中、ノードは1つの隣接ノードをサンプリングし、そのノードのビットがtrueであればその意見を採用し、自身のビットもtrueに設定する。
• 各段階の終了時に、すべてのビットがfalseにリセットされ、複数の段階にわたってプロセスが繰り返される。
• このプロトコルは、特に初期段階において、標準プロトコルよりも効率的に意見を拡散するビット機構を活用する。
• 理論的分析では、確率的手法を用いて初期の意見差に基づく収束時間と失敗確率の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期の意見差がΩ(√(n log n))である場合、kパーティ投票における標準2選択プロトコルの収束時間は何か？
• RQ2 初期の過半数差がΩ(√(n log n))のとき、収束時間はkにどのように依存するか？
• RQ3 初期の意見差がO(√n)にしかならない場合、プロトコルの性能はどのように変化するか？
• RQ4 段階ベースのビット機構は、標準プロトコルに比べて収束速度を著しく向上させることができるか？
• RQ5 修正されたプロトコルが多数派の意見に収束しない条件は何か？

主な発見

• 初期の最大意見と第二位の意見の差がΩ(√(n log n))である場合、標準2選択プロトコルは高確率でO(k log n)ステップで初期の多数派の意見に収束する。
• 収束時間がΘ(k)に達する初期構成が存在することから、O(k log n)の境界がタイトであることが示された。
• 初期の意見差がO(√n)の場合、最大の意見が定数確率で選挙に敗北する可能性があるため、失敗の閾値が存在する。
• 段階ベースのビット伝搬を用いた修正プロトコルは、標準プロトコルに比べて著しく収束速度が向上する。
• 各段階内で標的で多段階の伝搬を可能にすることで、修正プロトコルは多数派の意見の拡大をより速やかに実現する。
• 理論的分析により、同じ初期差条件下でも、修正プロトコルが多数派の意見に高確率で収束することを確認した。