[論文レビュー] Efficient Quantum Algorithm for Hidden Quadratic and Cubic Polynomial Function Graphs

Thomas Decker, Paweł Wocjan|ArXiv.org|Mar 21, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限体上の隠れた二次および三次多項式関数を特定するための効率的な量子アルゴリズムを提示している。問題は、量子状態同定問題に還元され、定数の成功確率と多項式対数時間のクエリ複雑度を達成する。これは、体のサイズpに対して多項式クエリを必要とする古典的手法に比べ、顕著な量子高速化を提供する。

ABSTRACT

We introduce the Hidden Polynomial Function Graph Problem as a natural generalization of an abelian Hidden Subgroup Problem (HSP) where the subgroups and their cosets correspond to graphs of linear functions over the finite field F_p. For the Hidden Polynomial Function Graph Problem the functions are not restricted to be linear but can also be multivariate polynomial functions of higher degree. For a fixed number of indeterminates and bounded total degree the Hidden Polynomial Function Graph Problem is hard on a classical computer as its black box query complexity is polynomial in p. In contrast, this problem can be reduced to a quantum state identification problem so that the resulting quantum query complexity does not depend on p. For univariate polynomials we construct a von Neumann measurement for distinguishing the states. We relate the success probability and the implementation of this measurement to certain classical problems involving polynomial equations. We present an efficient algorithm for hidden quadratic and cubic function graphs by establishing that the success probability of the measurement is lower bounded by a constant and that it can be implemented efficiently.

研究の動機と目的

• アーベル型隠れた部分群問題（HSP）を、より高次の多変数多項式関数を含むように一般化すること。
• 古典コンピュータ上で隠れた多項式関数グラフを特定することは、体のサイズpに対して多項式クエリを必要とするという計算の難易度を扱うこと。
• 体のサイズpに依存しないクエリ複雑度で、隠れた多項式関数グラフ問題を解く量子アルゴリズムを開発すること。
• 状態の区別可能性と測定の成功確率を分析することで、単変数二次および三次多項式に対して効率的な量子アルゴリズムを確立すること。

提案手法

• 標準的なHSP技術を用いて、隠れた多項式関数グラフ問題を量子状態同定問題に還元すること。
• 単変数多項式関数に対応する量子状態を区別するためのフォン・ノイマン測定を構築すること。
• 測定の成功確率を、ある種の古典的多項式方程式の可解性に関連付けること。
• ブルーチャーのアルゴリズムとグレブナー基底技術を用いて、非正則な場合を分析し、代数的系における解の数を上限付けること。
• 二次および三次単変数多項式に対して、測定の成功確率が定数以上に下限付けられることを証明すること。
• 代数幾何学的手法と多項式系の解法を用いて、測定が効率的に実装できることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル型隠れた部分群問題は、有限体上の非線形で多変数の多項式関数を含むように一般化可能か？
• RQ2 古典的クエリ複雑度と比較して、隠れた多項式関数グラフの識別における量子クエリ複雑度は何か？
• RQ3 量子状態の区別可能性をどのように活用して、隠れた多項式関数グラフ問題を効率的に解けるか？
• RQ4 二次および三次多項式に対応する状態を区別するための量子測定の成功確率は何か？
• RQ5 基礎となる代数的系の複雑さにもかかわらず、単変数二次および三次多項式に対して効率的な量子アルゴリズムを構築可能か？

主な発見

• 隠れた多項式関数グラフ問題の古典的クエリ複雑度はpに関して多項式的であり、大きな体に対しては古典的に解くのが困難である。
• 量子クエリ複雑度はpに依存せず、固定次数の多項式に対してpに関して多項式対数時間のスケーリングを達成する。
• 単変数二次および三次多項式に対して、量子測定の成功確率は定数以上に下限付けられており、信頼性の高い同定を保証する。
• 代数幾何学的手法（グレブナー基底計算および多項式系の解法を含む）を用いて、測定が効率的に実装可能である。
• 関連する代数的系の解の数は有限（最大10個まで）に抑えられており、非正則な場合の取り扱いが可能である。
• 定数の成功確率と効率的な実装を備えた状態同定に問題を還元することで、アルゴリズムが量子高速化を提供する。