[論文レビュー] Optimal measurements for the dihedral hidden subgroup problem

Dave Bacon, Andrew M. Childs+1 more|Jan 10, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 48被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、ダイヘドラル隠れ部分群状態を区別するための最適な測定として『粗略測定』を特定し、密度 ν = k/log N ≈ 1 における成功確率の鋭い閾値を示している。これは、非指数的になくてもよい成功確率を得るには Ω(log N) 個のコピーが必要であることを示している。さらに、最適測定を部分和解の量子サンプリングに関連させ、密度 ν > 1 における平均的部分和問題を解くことと、最適測定を実装することの同値性を確立している。

ABSTRACT

We consider the dihedral hidden subgroup problem as the problem of distinguishing hidden subgroup states. We show that the optimal measurement for solving this problem is the so-called pretty good measurement. We then prove that the success probability of this measurement exhibits a sharp threshold as a function of the density nu=k/log N, where k is the number of copies of the hidden subgroup state and 2N is the order of the dihedral group. In particular, for nu<1 the optimal measurement (and hence any measurement) identifies the hidden subgroup with a probability that is exponentially small in log N, while for nu>1 the optimal measurement identifies the hidden subgroup with a probability of order unity. Thus the dihedral group provides an example of a group G for which Omega(log|G|) hidden subgroup states are necessary to solve the hidden subgroup problem. We also consider the optimal measurement for determining a single bit of the answer, and show that it exhibits the same threshold. Finally, we consider implementing the optimal measurement by a quantum circuit, and thereby establish further connections between the dihedral hidden subgroup problem and average case subset sum problems. In particular, we show that an efficient quantum algorithm for a restricted version of the optimal measurement would imply an efficient quantum algorithm for the subset sum problem, and conversely, that the ability to quantum sample from subset sum solutions allows one to implement the optimal measurement.

研究の動機と目的

• ダイヘドラル隠れ部分群問題（DHSP）を解く上で極めて重要な、ダイヘドラル隠れ部分群状態を区別するための最適な量子測定を特定すること。
• 測定の成功確率が状態のコピー数 k に依存する関数として、密度 ν = k/log N をパrameterとする挙動を分析すること。
• 最適測定の実装と平均的部分和問題における密度 ν での関連を確立すること。
• 最適測定の効率的な量子回路実装が、DHSP や関連問題に対する新しいアルゴリズムを生み出すかどうかを調査すること。
• 隠れ部分群の1ビットを特定する最適測定が、完全な問題と同一の閾値挙動を示すかどうかを検討すること。

提案手法

• Holevo-Yuen-Kennedy-Lax の定理を適用し、ダイヘドラル隠れ部分群状態を区別する際に『粗略測定』（pretty good measurement）が最適であることを証明する。
• コピー数 k に応じた粗略測定の成功確率を分析し、密度パラメータ ν = k/log N を中心に扱う。
• 表現論的分解を用いて、最適測定をブロック x に条件づけ、問題をブロック内でのPOVMに簡略化する。
• 最適測定（ブロック条件付き形式）を実装できるのは、密度 ν における平均的部分和問題の解からの量子サンプリングができる場合に限ることを示す。
• 逆方向の関係も確立：密度 ν > 1 における部分和問題の効率的量子アルゴリズムがあれば、最適測定の効率的実装が可能になる。
• ブロック条件付きでない、直接的な最適測定の実装可能性について検討し、部分和問題を回避する可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダイヘドラル隠れ部分群状態を区別するための最適な量子測定は何か？ また、効率的な量子回路で実装可能か？
• RQ2 最適測定の成功確率は、コピー数 k に対して鋭い閾値を示すか？ もしそうなら、密度 ν = k/log N はどの値か？
• RQ3 部分和解の量子サンプリングを用いた、最適測定の効率的量子実装は可能か？
• RQ4 隠れ部分群の1ビットを特定することは、完全な DHSP を解くのと比べて著しく簡単か？
• RQ5 x を最初に測定しない直接的な最適測定の実装は、部分和問題を回避し、DHSP に対する新しい量子アルゴリズムを生み出すことができるか？

主な発見

• Holevo-Yuen-Kennedy-Lax の定理を用いた証明により、ダイヘドラル隠れ部分群状態を区別する最適測定として『粗略測定』（pretty good measurement）が最適であることが示された。
• ν < 1 の場合、成功確率は log N に対して指数的に低下することを示し、非指数的になくてもよい成功確率を得るには Ω(log N) 個のコピーが必要であることを証明した。
• ν > 1 の場合、最適測定の成功確率は一定（定数オーダー）であり、k = Ω(log N) 個のコピーがあれば高確率での同定が可能であることを示した。
• 隠れ部分群の最下位ビットを特定するための最適測定も、完全な問題と同一の閾値挙動を示し、部分情報では著しい簡略化がないことを示した。
• 最適測定（ブロック条件付き形式）を実装できるのは、密度 ν における平均的部分和問題の解からの効率的量子サンプリングができる場合に限る。
• 密度 ν > 1 における部分和問題の効率的量子アルゴリズムがあれば、DHSP に対する効率的量子アルゴリズムが得られ、逆に最適測定の効率的実装があれば、部分和問題の解からの量子サンプリングが可能になる。