[論文レビュー] Einstein metrics and GIT stability

Akito Futaki, Hajime Ono|ArXiv.org|Nov 1, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなケーラーおよびサスキー多様体上のアインシュタイン計量と幾何学的不変量理論（GIT）安定性との間の深い関係を確立し、特にモーメント写像とスカラー曲率の枠組みを通じて考察する。定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量および極値ケーラー計量が、ケーラー＝アインシュタイン計量よりもGIT安定性とより直接的に関連していることを示し、これらの考えをサスキー幾何学へと拡張する。その結果、不規則な場合においてサスキー＝アインシュタイン計量の存在は、代数的安定性ではなく漸近的解析的条件によって支配されることを示した。

ABSTRACT

In this expository article we review the problem of finding Einstein metrics on compact Kähler manifolds and Sasaki manifolds. In the former half of this article we see that, in the Kähler case, the problem fits better with the notion of stability in Geometric Invariant Theory if we extend the problem to that of finding extremal Kähler metrics or constant scalar curvature Kähler (cscK) metrics. In the latter half of this paper we see that most of ideas in Kähler geometry extend to Sasaki geometry as transverse Kähler geometry. We also summarize recent results about the existence of toric Sasaki-Einstein metrics.

研究の動機と目的

• コンパクトなケーラー多様体上におけるアインシュタイン計量の存在とGIT安定性の関係を明らかにすること、特に正の第一チャーン類の状況において。
• 定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量および極値ケーラー計量が、ケーラー＝アインシュタイン計量よりもGIT安定性とより自然に結びついていることを示すこと。
• ケーラー幾何学におけるモーメント写像枠組みをサスキー幾何学へと拡張し、サスキー多様体を横断的ケーラー多様体として扱うこと。
• ベールマン核およびスぺクトル不変量の漸近的性質を用いて、トーリックなサスキー＝アインシュタイン計量の存在を分析すること。
• 不規則な場合において、サスキー＝アインシュタイン計量の存在が代数的安定性ではなく、漸近的解析的条件と同値であるかどうかを調査すること。

提案手法

• GIT安定性のモーメント写像の枠組みを用い、スカラー曲率がケーラー計量空間上のシンプレクティック自己同型の作用に関してモーメント写像として機能することを示した。
• FujikiおよびDonaldsonのモーメント写像フレームワークを適用し、cscK計量がモーメント写像の零点として現れることを示し、これによりGIT安定性と直接的に結びつくことを明らかにした。
• MatsushimaおよびFutakiの特性による障害をcscK計量および高次のチャーン形式へと拡張し、モーメント写像構造を用いた。
• コンクリートの横断的ケーラー構造を用い、リーブベクトル場および横断的スカラー曲率を用いてサスキー＝アインシュタイン計量を分析した。
• コンクリート上でのベールマン核（シュツェゴ核）を用い、特に最初の正の固有値および体積不変量の漸近的スペクトル性質を研究した。
• LichnerowiczおよびBishopの定理を用いて明示的な障害を導出し、λ₁ ≥ 1およびVol ≤ γ_{2m+1}を、C^{m+2}内の同次的超曲面に適用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数スカラー曲率ケーラー計量の存在は、ケーラー幾何学におけるGIT安定性とどのように関係するか？
• RQ2 モーメント写像枠組みは、cscK計量がケーラー＝アインシュタイン計量よりもなぜより自然にGIT安定性と結びついているのかを説明できるか？
• RQ3 ケーラー幾何学における安定性の障害が、特に横断的ケーラー設定においてサスキー幾何学へどの程度拡張可能か？
• RQ4 サスキー＝アインシュタイン計量の存在を支配する解析的条件は何か、特に不規則な場合において。
• RQ5 サスキー＝アインシュタイン計量の存在が、代数的安定性ではなくベールマン核に関する漸近的解析的条件と同値であるか？

主な発見

• Fano多様体上にケーラー＝アインシュタイン計量が存在するならば、Tianによって示されたようにK安定性が成立し、これはMabuchi Kエネルギー汎関数の適切性と同値である。
• スカラー曲率は、ケーラー計量空間上のシンプレクティック自己同型の作用に関してモーメント写像として機能し、cscK計量はこの写像の自然な零点として現れ、したがってGIT安定性と直接的に結びつく。
• cscK計量に対する障害には、Futaki特性の非消滅および特異ベクトル場代数の非再帰的性質が含まれる。これはMatsushimaの定理の拡張である。
• サスキー＝アインシュタイン計量に関しては、Lichnerowiczの障害は最初の正の固有値λ₁ ≥ 1を要求し、Bishopの障害は体積Vol ≤ γ_{2m+1}を要求する。
• 同次的超曲面に対して明示的な障害を導出した：F = z₀² + z₁² + z₂² + z₃ᵏ = 0（k > 4）の場合、条件∑1/aⱼ > 1が成立しないため、リッチ平坦なケーラー・コンクリート計量は存在しない。
• 不規則な場合において、本稿はサスキー＝アインシュタイン計量が代数的安定性ではなく、ベールマン核に関する漸近的解析的条件によって支配されることを示唆しており、ケーラーの場合とは根本的に異なることを示している。