[論文レビュー] Ekedahl-Oort strata for good reductions of Shimura varieties of Hodge type

Chao Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$p > 2$ におけるホッジ型のシュバリ・多様体の良い還元について、$¯{G}$-ズィップを用いてエケダール・オールト層を確立し、研究する。層はウェイル群の元によってパrameter化され、各非空層がその対応するウェイル群元の長さに等しい次元の滑らかさを持つことが示され、層の閉包関係はウェイル群上の組合せ的半順序によって完全に記述される。

ABSTRACT

For a Shimura variety of Hodge type with hyperspecial level structure at a prime $p$, Vasiu and Kisin constructed a smooth integral model (namely the integral canonical model) uniquely determined by a certain extension property. We define and study the Ekedahl-Oort stratifications on the special fibers of those integral canonical models when $p>2$. This generalizes Ekedahl-Oort stratifications defined and studied by Oort on moduli spaces of principally polarized abelian varieties and those defined and studied by Moonen, Wedhorn and Viehmann on good reductions of Shimura varieties of PEL type. We show that the Ekedahl-Oort strata are parameterized by certain elements $w$ in the Weyl group of the reductive group in the Shimura datum. We prove that the stratum corresponding to $w$ is smooth of dimension $l(w)$ (i.e. the length of $w$) if it is non-empty. We also determine the closure of each stratum.

研究の動機と目的

• PEL型およびシーゲル型シュバリ多様体におけるエケダール・オールト層の分類を、ホッジ型シュバリ多様体へ一般化すること。
• $p > 2$ におけるホッジ型シュバリ多様体の整数的標準モデルの特異ファイバー上でのエケダール・オールト層の定義と研究。
• シュバリデータムに含まれる再帰的群のウェイル群の元を用いて層をパrameter化すること。
• 層の次元公式と閉包関係を確立し、非空層が滑らかであることを示すこと。

提案手法

• シンプレクティック埋め込みとシュバリデータムの還元を用いて、整数的標準モデルの特異ファイバー $\mathscr{S}_0$ 上に型 $\mu$ の $\overline{G}$-ズィップを構成する。
• $\overline{G}$-ズィップによって誘導される準同型 $\zeta: \mathscr{S}_0 \to \overline{G}\texttt{-}\mathtt{Zip}_\kappa^\mu$ を用いて、$\overline{\mathbb{F}}_p$-点の逆像としてエケダール・オールト層を定義する。
• $\zeta$ が滑らかであることを証明し、非空の場合に層が局所的閉かつ滑らかであることを保証する。
• ウェイル群 $W$ に関するパラボリック部分群 $P_+$ に対応する $\mu$ に関する最小コセット代表元の集合 ${}^JW$ の元 $w$ を用いて層をパrameter化し、非空層に対して $\dim \mathscr{S}^w_0 = \ell(w)$ が成り立つことを示す。
• ${}^JW$ 上の半順序 $\preceq$ の組合せ論を用いて、各層のザリスキ閉包を、次元が $\leq \dim \mathscr{S}^w_0$ であるすべての層の和集合として記述する。
• 文献[32]の結果を応用して、$\mathrm{CSpin}$-多様体における $({}^JW, \preceq)$ の構造を計算し、問題を既知のウェイル群計算に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $p > 2$ におけるホッジ型シュバリ多様体の良い還元について、エケダール・オールト層を定義し研究できるか？
• RQ2 この設定におけるエケダール・オールト層のパrameter空間は何か？ また、シュバリデータムに含まれる再帰的群のウェイル群とどのように関係するか？
• RQ3 各エケダール・オールト層の次元は何か？ また、いつ非空となるか？
• RQ4 層の閉包は、ウェイル群上の半順序を用いてどのように位相的に記述できるか？
• RQ5 $\mathrm{CSpin}$-シュバリ多様体におけるエケダール・オールト層の分類の構造は何か？ また、$n$ が奇数か偶数かによってどのように異なるか？

主な発見

• 特異ファイバー $\mathscr{S}_0$ 上のエケダール・オールト層は、コcharacters $\mu$ に関連するパラボリック部分群 $P_+$ に関するウェイル群 $W$ の最小コセット代表元の集合 ${}^JW$ の元 $w$ によってパrameter化される。
• 各非空エケダール・オールト層 $\mathscr{S}^w_0$ は、ウェイル群元 $w$ の長さ $\ell(w)$ に等しい次元の滑らかさを持つ。
• 層 $\mathscr{S}^w_0$ のザリスキ閉包は、${}^JW$ 上の半順序 $\preceq$ において $w' \preceq w$ を満たすすべての層 $\mathscr{S}^{w'}_0$ の和集合であり、閉包は次元が $\leq \dim \mathscr{S}^w_0$ であるすべての層の和集合である。
• 開で稠密な層（通常層）が一意に存在し、次元が 0 の層（超特異層）が高々一つ存在する。これらは与えられた条件下で一意的である。
• $\mathrm{CSpin}$-シュバリ多様体において、$n$ が奇数の場合、各次元 $i$（$0 \leq i \leq n$）に対して一意の層が存在し、層は次元で全順序づけられる。
• もし $n$ が偶数で正であれば、次元 $i \neq n/2$ に対して一意の層が存在し、次元 $n/2$ の層は高々二つ存在する。全層の分類は、${}^JW$ 上の半順序によって記述される。