[論文レビュー] Generalized Hasse invariants for Shimura varieties of Hodge type

Jean-Stefan Koskivirta, Torsten Wedhorn|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、標準的ラインバンドルと変形理論を用いて、すべてのホッジ型のシムーラ多様体に対して一般化されたハッセ不変量を構成し、古典的ハッセ不変量を高次元および非通常の場合にまで拡張する一様な枠組みを確立する。主な貢献は、族に含まれるアーベル多様体の $p$- torsion 構造を制御する、体系的なこれらの不変量の構成である。

ABSTRACT

We construct canonical Hasse invariants for arbitrary Shimura varieties of Hodge type. MSC 2010. 14G35, 14K10, 20G40, 11G18

研究の動機と目的

• PEL型や通常のアーベル多様体の状況を超えて、ホッジ型のシムーラ多様体への古典的ハッセ不変量の拡張を図ること。
• このようなシムーラ多様体によってパラメトライズされるアーベル多様体の $p$- torsion 構造を検出できる、標準的 $p$-adic 不変量を定義すること。
• 非 PEL 型および非通常の場合を含む、すべてのホッジ型シムーラ多様体に適用可能な一様な構成を提供すること。
• これらの多様体の $p$-adic 性質および mod $p$ 幾何学を研究するための基盤的ツールを確立すること。

提案手法

• ホッジ構造に関連するシムーラ多様体上の標準的ラインバンドルを用いて、グローバルセクションを定義する。
• 追加構造を備えたアーベル多様体の変形理論を適用し、$p$-adic 変形におけるハッセ不変量の振る舞いを分析する。
• ホッジ＝テイト分解と $p$-adic ホッジ理論を用いて、特別なファイバー上のラインバンドルのセクションとして不変量を構成する。
• 不変量が、古典的ハッセ不変量の役割を一般化するように、非通常の部分集合で正確に消えることを保証する。
• シムーラ多様体の整数的モデルの理論を用いて、$p$--adic 整数上での不変量の定義を行う。
• 再帰的群とホッジコアキリューデータを用いたホッジ型シムーラ多様体の分類に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ハッセ不変量は、PEL型や通常の状況に限定されないホッジ型のシムーラ多様体へ、どのように一般化できるか？
• RQ2 このようなシムーラ多様体上のアーベル多様体族における $p$-torsion 挙動を検出できる、標準的ラインバンドルまたはモジュラー形式構造は何か？
• RQ3 幾何学的および $p$-adic 手法を用いて、すべてのホッジ型シムーラ多様体にわたるハッセ不変量の一様な構成が可能か？
• RQ4 一般化されたハッセ不変量が消える正確な部分集合は何か？そしてそれは非通常の部分集合とどのように関係するか？
• RQ5 $p$-adic 環境における基底変換および変形に関して、この構成はどのように振る舞うか？

主な発見

• ホッジ型シムーラ多様体の整数的モデルの特別なファイバー上のラインバンドルのグローバルセクションとして、標準的ハッセ不変量が構成される。
• 不変量は、非通常の部分集合で正確に消え、古典的ハッセ不変量の性質を一般化する。
• この構成は内在的かつファンクター的な性質を持ち、ホッジ構造とアーベル多様体族の $p$-adic 幾何学にのみ依存する。
• この方法は、非 PEL 型および非通常の場合を含む、すべてのホッジ型シムーラ多様体に一様に適用可能である。
• 不変量は基底変換および変形と整合的であり、$p$-adic 族における頑健性を保証する。
• この結果は、これらの多様体の mod $p$ 幾何学および $p$-adic 自動形式を研究するための基盤的ツールを提供する。