[論文レビュー] Electromagnetic Lagrangian on a causal set that resides on edges rather than points

Roman Sverdlov|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、因果集合上での電磁場およびスカラー場のラグランジアン密度を、時空点ではなく時空的辺（事象間の直接的な因果的関係）に割り当てる再定式化を提案する。『隣接する辺』を有限近傍条件によって定義することで、局所性を実現するとともに、粗視化された意味でのローレンツ不変性を保ち、従来の点にラグランジアン密度を割り当てる手法に内在する非局所性の問題を解決する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to introduce one of the versions of the electromagnetic Lagrangian on a causal set in such a way that would address the non-locality issues inherent to causal set theory. The key idea is that Lagrangian density is assigned to the edges rather than points, and there is a way of defining the concept of "neighboring edges" of a given edge in such a way that each edge has only finitely many neighboring edges which would ultimately allow for the theory to be local. That is to be contrasted with points where every point has infinitely many direct neighbors which is a source of non-locality. The edges are needed in order to define electromagnetic Lagrangian anyway, regardless of the consideration of locality; the novelty of this paper is to assign Lagrangian density to the edges as well. Also, in the other papers edges were both spacelike and timelike, while in this paper they are only timelike. This makes calculations considerably more complicated, but it is crucial in preserving locality since the Lorentz group in a hyperplane perpendicular to the edge is compact only if the edge is timelike.

研究の動機と目的

• 因果集合理論における非局所性問題を解消すること。特に、光円錐構造に起因して点が無限個の因果的近傍を持つことによる問題。
• 離散時空上でのスカラー場およびゲージ場理論の局所的かつローレンツ不変な定式化を開発すること。
• 点に基づくラグランジアン密度を、時空的辺に基づくものに置き換えること。
• 各辺に対して有限な近傍関係を定義することで、1辺あたりの相互作用数が有限になるようにし、局所的ダイナミクスを可能にすること。
• 辺に基づくラグランジアンの連続極限が、標準的な場理論の作用を再現することを示すこと。

提案手法

• 電磁場およびスカラー場のラグランジアン密度を、中間点が存在しない因果的関係 p ≺* q を持つ時空的辺に割り当てる。
• 辺 a と c の間に r が存在し、a ≺ r ≺ c となるような点 r の数に上限を設けることで、『隣接する辺』を定義し、1辺あたりの近傍数が有限になるように保証する。
• スカラー場 φ を、φ(p,q) = (φ(p) + φ(q))/2 として二点関数として表現し、点に基づく場の値を避ける。
• すべての時空的辺の和として作用を構成し、因果ダイアモンド α(p,q) を通じた場の値の差からラグランジアン密度を導出する。
• 連続極限において (p+q)/2 → x^μ および (q−p)/τ → v^μ とし、辺を世界線の接ベクトルとして埋め込む。
• 因果ダイアモンド α(p,q) 上での場の変動の時間的および空間的成分の寄与を組み合わせることで、運動項 ∂μφ∂^μφ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点に基づくラグランジアン密度に依存せずに、因果集合上に局所的かつローレンツ不変な場理論を定式化できるか？
• RQ2 ラグランジアンを点ではなく辺に割り当てることで、点の無限個の因果的近傍に起因する非局所性問題が解消されるか？
• RQ3 辺上に有限近傍構造を導入することで、局所性を回復しながらも、因果集合の根本的な離散性を保てるか？
• RQ4 辺に基づく離散的定式化から、連続極限で標準的な場理論の作用をどのように回復できるか？
• RQ5 時空的辺の性質が、横断的超平面におけるコンactなローレンツ対称性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 辺に基づくラグランジアン定式化により、各辺が有限個の隣接辺しか持たないことが保証され、点に基づく定式化に内在する非局所性問題が解消される。
• 連続極限において、スカラー場の運動項 ∂μφ∂^μφ が、因果ダイアモンド α(p,q) 上での場の変動の時間的および空間的成分の線形結合として回復される。
• 作用はすべての時空的辺の和として表現され、ラグランジアン密度は辺上での場の平均からの二乗偏差から導出される。
• 時空的辺の性質のおかげで、横断的超平面におけるローレンツ群がコンパクトになる。これは、優位なフレームを避けるために不可欠であり、局所的対称性を維持する。
• 無限個の近傍を持つ点に依存するのを避けるために、点の近傍を有限な辺の近傍に置き換えることで、物理的に実現可能な離散的場理論が可能になる。
• 連続極限では、辺の中点 (p+q)/2 が x^μ に、辺ベクトル (q−p)/τ が v^μ にマッピングされ、辺に基づくラグランジアンが、標準的な L(φ,A^μ;x^μ) を L(φ,A^μ;x^μ,v^μ) に一般化することが示された。