[論文レビュー] Elliptic curves with non-abelian entanglements

Nathan Jones, Ken McMurdy|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非アーベル的絡み合いをもつ除数体の楕円曲線を、種数0のモジュラー曲線を用いて分類する。すべての絡み合いは特定のGL₂(Ẑ)の開部分群から生じ、体Q(t)上に無限個のD₆-絡み合いを、同種およびガロア理論的条件を用いて構成する。

ABSTRACT

We consider the problem of classifying quadruples $(K,E,m_1,m_2)$ where $K$ is a number field, $E$ is an elliptic curve defined over $K$ and $(m_1,m_2)$ is a pair of relatively prime positive integers for which the intersection $K(E[m_1]) \cap K(E[m_2])$ is a non-abelian extension of $K$. There is an infinite set $\mathcal{S}$ of modular curves whose $K$-rational points capture all elliptic curves over $K$ without complex multiplication that have this property. Our main theorem explicitly describes the (finite) subset of $\mathcal{S}$ consisting of those modular curves having genus zero. In the case $K = \mathbb{Q}$, this has applications to the problem of determining when the Galois representation on the torsion of $E$ is as large as possible modulo a prescribed obstruction; we illustrate this application with a specific example.

研究の動機と目的

• 数体K上の楕円曲線で、その除数体に非アーベル的絡み合いをもつものについて分類すること。
• 種数0のモジュラー曲線から生じるすべての絡み合いを同定すること。
• GL₂(Ẑ)の開部分群G ⊆ に対応するモジュラー曲線X̃Gを用いて、これらの曲線の明示的パラメトライゼーションを提供すること。
• Q(t)上に、レベルが無限大に発散する無限個のD₆-絡み合いを持つ族が存在することを示すこと。
• 合成mに対するmod m表現の文脈において、ガロア表現と絡み合いの役割を明確にすること。

提案手法

• GL₂(Ẑ)の開部分群G ⊆ に対して、曲線X(m)およびその⟨G, −I⟩作用による商曲線X̃G(m)を用いる。
• K-有理点を、指定されたガロア像をもつ楕円曲線として解釈するため、忘却写像j̃G: X̃G → X(1) ≅ P¹を適用する。
• 種数0のパラメトライゼーション技術を用い、y² = −3tを用いた有理関数パラメータ化と代入により、特異な三次曲線モデルを導出する。
• A(t)とB(t)が有理関数であるように、係数にD²A(t)とD³B(t)を含む明示的ウェイエルシュトラウス方程式により、Q(t)上に族EDを構成する。
• ファイバー積と同種条件を用いて、ρE(GK) ˙⊆G6,Dを保証し、K(μ₃)、K(E[2])、および√Dに関する条件を用いる。
• kernel of ηおよびGL₂(Z/mZ)内の共役類といった群論的道具を用い、絡み合い構造を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成mに対して、数体K上の楕円曲線で、m-除数体に非アーベル的絡み合いをもつものはどれか？
• RQ2 GL₂(Ẑ)の開部分群G ⊆ に対応するモジュラー曲線X̃Gで、種数が0であり、非アーベル的絡み合いをパラメトライズするものはどれか？
• RQ3 非アーベル的絡み合いをもつ楕円曲線の無限族を、mが無限大に発散するレベルで構成できるか？
• RQ4 互いに素なm₁, m₂に対して、K(E[m₁]) ∩ K(E[m₂]) が非アーベル的であるためのガロア理論的条件は何か？
• RQ5 ガロア表現の像は、合成レベルの除数体における絡み合い構造とどのように関係するか？

主な発見

• 本論文は、数体上での非アーベル的絡み合いをパラメトライズするすべての種数0モジュラー曲線X̃Gの完全な分類を提供する。
• 明示的な無限族D₆-絡み合いを、楕円曲線ED: y² = x³ + D²A(t)x + D³B(t)によりQ(t)上に構成する。ここでA(t)とB(t)は明示的に与えられた有理関数である。
• 各基本的判別式Dに対して、Q(t)上でのEDはρED(GQ(t)) .= G6,Dを満たし、K(ED[3]) ∩ K(ED[mD]) は型D₆の非アーベル的絡み合いである。
• この絡み合いはK(μ₃) ∩ K(ED[2], √D) から生じ、ガロア像はGL₂(Z/6Z)の部分群に共役であり、その像はD₆に同型である。
• 群˜G6はレベル6であり、任意のガロア表現ρE(GQ)の像において−Iを含まないが、˜G6には−Iが含まれる。これは、−Iを含むコアリティ・ヘビーな部分群が存在しないことによる。
• 構成により、固定されたG₀に対して、{mGL₂(G) : G ∈ Gnon-ab(0), G .= SL₂ G₀} が無限大に発散することを示し、任意の大きなレベルでの絡み合いの存在を確認する。