[論文レビュー] Elliptic multiple zeta values, Grothendieck-Teichmüller and mould theory

Leila Schneps|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、エカレのモールド理論を用いて、楕円的設定への一般化として古典的二重シャッフルLie代数 $\mathrm{ds}$ を一般化した楕円的二重シャッフルLie代数 $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$ を導入する。この理論により、Lie代数の単射準同型 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ が構成され、その写像が接ベクトル基点のセクション $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ およびグローテンディーク＝タイヒミュラー写像 $\mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{\text{ell}}$ と整合することを、これらの構造を含む可換図式を通じて示す。

ABSTRACT

In this article we define an elliptic double shuffle Lie algebra $ds_{ell}$ that generalizes the well-known double shuffle Lie algebra $ds$ to the elliptic situation. The double shuffle, or dimorphic, relations satisfied by elements of the Lie algebra $ds$ express two families of algebraic relations between multiple zeta values that conjecturally generate all relations. In analogy with this, elements of the elliptic double shuffle Lie algebra $ds_{ell}$ are Lie polynomials having a dimorphic property called $Δ$-bialternality that conjecturally describes the (dual of the) set of algebraic relations between elliptic multiple zeta values, periods of objects of the category $MEM$ of mixed elliptic motives defined by Hain and Matsumoto. We show that one of Ecalle's major results in mould theory can be reinterpreted as yielding the existence of an injective Lie algebra morphism $ds ightarrow ds_{ell}$. Our main result is the compatibility of this map with the tangential-base-point section ${ m Lie}\,π_1(MTM) ightarrow { m Lie}\,π_1(MEM)$ constructed by Hain and Matsumoto and with the section $grt ightarrow grt_{ell}$ mapping the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra $grt$ into the elliptic Grothendieck-Teichmüller Lie algebra $grt_{ell}$ constructed by Enriquez.

研究の動機と目的

• 古典的二重シャッフルLie代数 $\mathrm{ds}$ の楕円的類似物として、楕円的多重ゼータ値の代数的関係を捉えることのできる $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$ を定義すること。
• 双対シャッフル関係の枠組みを、双対的性質と呼ばれる新しい性質 $\Delta$-バイアルタナリティを用いて楕円的設定に拡張し、古典的状況におけるすべての代数的関係を生成するとされる予想を拡張すること。
• エカレのモールド理論の主要結果を応用して、$\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ への標準的な単射Lie代数準同型を構成すること。
• この準同型が、2つの基本的構成、すなわち接ベクトル基点セクション $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ およびエレナスによる $\mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{\text{ell}}$ 写像と整合することを証明すること。
• 楕円的多重ゼータ値、楕円的グローテンディーク＝タイヒミュラーLie代数、および混合楕円的モチーフの基本Lie代数を結びつける統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 楕円的多重ゼータ値のすべての代数的関係を予想的に記述する新しい二重的性質である $\Delta$-バイアルタナリティを満たすLie多項式のLie代数として $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$ を定義する。
• エカレのモールド理論を応用し、主要な結果を「モールド空間上のpre-LieおよびCampbell-Hausdorff法則を用いた、単射Lie代数準同型 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ の存在」として再解釈する。
• 空間 $L[C]$ 上のポisson-Ihara括弧 $\{f,g\} = D_f(g) - D_g(f) - [f,g]$ を用いてLie代数構造をモデル化する。ここで $D_f$ は $D_f(a) = 0$, $D_f(b) = [f,b]$ を満たす微分作用素である。
• pre-Lie法則 $p \odot f = pf + D_f(p)$ を用いて指数写像 $\exp_{\odot}(f) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} f^{\odot n}$ を構成し、これにより自己同型 $A_{\exp_{\odot}(f)}$ を実現する。
• Lie代数 $\mathrm{ds}$, $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$, $\mathrm{grt}$, $\mathrm{grt}_{\text{ell}}$, $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM})$, $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ を含む図式の可換性を確立するが、予想的な破線矢印を除く。
• 線形化補題を用いて $\exp(-\mathrm{arit}(P) + \mathrm{ad}(P)) \cdot a = R^{-1} a R$ かつ $R = \exp_{\text{ari}}(-P)$ が成り立つことを示し、準同型が自己同型作用と整合することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的二重シャッフルLie代数 $\mathrm{ds}$ をどのように楕円的設定に一般化すれば、楕円的多重ゼータ値の代数的関係を記述できるか？
• RQ2 $\Delta$-バイアルタナリティは、楕円的多重ゼータ値の二重的構造をどのように記述するのか？また、古典的二重シャッフル関係とどのような関係にあるか？
• RQ3 エカレのモールド理論的道具立てを用いて、標準的な単射Lie代数準同型 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ を構成できるか？
• RQ4 準同型 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ は、ハインとマツモトが定義した接ベクトル基点セクション $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ と整合するか？
• RQ5 エレナスによって構成された写像 $\mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{\text{ell}}$ は、Lie代数の全図式の文脈で、準同型 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ と可換であるか？

主な発見

• 楕円的多重ゼータ値のすべての代数的関係を予想的に記述する $\Delta$-バイアルタナリティ性質を備えた、$\mathrm{ds}$ の一般化としての楕円的二重シャッフルLie代数 $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$ が定義された。
• エカレのモールド理論の結果を応用して、$\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ への標準的な単射Lie代数準同型が構成され、古典的および楕円的多重ゼータ値の間の深い構造的関係が確立された。
• この準同型は、ハインとマツモトによって定義された接ベクトル基点セクション $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ と整合することが示された。
• また、エレナスによって構成された写像 $\mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{\text{ell}}$ とも整合し、これらのLie代数を含む主要な図式の可換性が保証された。
• 線形化補題により $\exp(-\mathrm{arit}(P) + \mathrm{ad}(P)) \cdot a = R^{-1} a R$ かつ $R = \exp_{\text{ari}}(-P)$ が成り立つことが示され、準同型がLie代数上の自己同型作用と整合することを証明した。