[論文レビュー] Zeta elements in depth 3 and the fundamental Lie algebra of a punctured elliptic curve

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

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ひとこと要約

本稿は、穴あき楕円曲線の基本的リー代数内で、深さ4までにわたるzeta要素σ₂ₙ₋₁の明示的公式を確立し、深さ2および3における二重シャッフル方程式を解消する。種数1の幾何学とモチーフ的周期を活用して、従来曖昧であったリー代数生成子を一意に固定する「異端的正規化」を導入し、ドリンフェルト結合子の高次項の計算を可能にするとともに、ランキン＝セルバーグ法を用いてそれらをイーゼンスタイン級数と結びつける。

ABSTRACT

This paper draws connections between the double shuffle equations and structure of associators; universal mixed elliptic motives as defined by Hain and Matsumoto; and the Rankin-Selberg method for modular forms for $SL_2(\mathbb{Z})$. We write down explicit formulae for zeta elements $σ_{2n-1}$ (generators of the Tannaka Lie algebra of the category of mixed Tate motives over $\mathbb{Z}$) in depths up to four, give applications to the Broadhurst-Kreimer conjecture, and completely solve the double shuffle equations for multiple zeta values in depths two and three.

研究の動機と目的

• 整数環上の中間TateモチーフのTannakaリー代数の生成子σ₂ₙ₋₁の選択における曖昧性を、種数1の幾何的データを用いて解消するための、自然な異端的正規化を導入すること。
• 自由リー代数x₀, x₁上での反復括弧積を用いて、深さ4までにわたるzeta要素σ₂ₙ₋₁の明示的公式を計算すること。
• 穴あき楕円曲線の幾何学を用いて、深さ2および3における多重zeta値の二重シャッフル方程式を完全に解くこと。
• ランキン＝セルバーグ法を用いて、穴あき楕円曲線の基本的リー代数の構造をモジュラー形式およびモチーフ的周期と結びつけること。
• 普遍楕円曲線のモチーフ的コホロジーを用いて、ドリンフェルト結合子をx₁の次数3まで明示的に導出すること。

提案手法

• 本稿は、穴あき楕円曲線E×∂/∂qのde Rham基本群を用いて、写像i₁: 𝔤ᵐ → Der^Θ(𝕃(a,b))を定義し、Tannakian作用をリー代数の自己同型へと持ち上げる。
• 「異端的正規化」として、σ̲₂ₙ₊₁ = B₂ₙ/(2n)! ⋅ ad(x₀)²ⁿx₁ + x₁における次数≥2の項として定義される新しい正規化を導入し、σ₂ₙ₊₁生成子の曖昧性を解消する。
• 構成は、モチーフ的周期環Pᵐ = O(ℑsₘₜ(ωdR, ωB))と、ベッチ実現とde Rham実現の比較同型から生じる、SL₂(ℤ)への自然なコycle Cᵐ ∈ Z¹(SL₂(ℤ), UᵉⁱすdR(Pᵐ))に依存する。
• SL₂(ℤ)における要素ST⁻¹S⁻¹の基本群ℒの自己同型群への像を分析することで、Baker–Campbell–Hausdorff公式を用いて、i₁(σ₂ₙ₊₁)の最初の数項を計算する。
• ドリンフェルト結合子の係数を、イーゼンスタイン級数の正則化反復積分と結びつけるために、モチーフ的ランキン＝セルバーグ法のバージョンを用いる。
• 深さ3における二重シャッフル方程式の解は、モチーフ的構造とリー代数作用の整合性および既知の多重zeta値の構造から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数1の幾何的データを用いて、整数環上の中間TateモチーブのTannakaリー代数の生成子σ₂ₙ₋₁の選択における曖昧性はどのように解消可能か？
• RQ2 自由リー代数x₀, x₁上での反復括弧積を用いて、深さ4までにわたるzeta要素σ₂ₙ₋₁の明示的公式はどのように導出可能か？
• RQ3 モチーフ的および幾何的手法を用いて、深さ2および3における多重zeta値の二重シャッフル方程式はどの程度完全に解消可能か？
• RQ4 x₁の次数≥3におけるドリンフェルト結合子の係数は、普遍楕円曲線のモチーフ的コホロジーを介して、どのようにモジュラー形式およびイーゼンスタイン級数と関係するか？
• RQ5 モチーフ的コycle Cᵐと、穴あき楕円曲線の基本群の写像i₁による像との間の明確な関係は何か？

主な発見

• 本稿は、x₁の次数4までにわたる異端的正規化におけるzeta要素σ̲₂ₙ₊₁の明示的公式を提供し、種数1の幾何学を用いてその定義の曖昧性を解消する。
• 深さ2および3における多重zeta値の二重シャッフル方程式を完全に解き、その解が穴あき楕円曲線のモチーフ的構造によって一意に決定されることを示す。
• ドリンフェルト結合子はx₁の次数3まで明示的に計算され、偶数のzeta値（πの累乗）の係数は有理数結合子τによって決定される。
• 写像i₁: 𝔤ᵐ → Der^Θ(𝕃(a,b))は、モチーフ的コycle Cᵐを介してSL₂(ℤ)の作用と整合的であり、Hain–Matsumotoの枠組みにおいて、標準的コycleの周期を符号化する。
• Cᵈᴿ_Sにおけるイーゼンスタイン級数の正則化反復積分から、i₁(σ₅)およびi₁(σ₇)の最初の非自明な係数が計算され、リー代数構造とモジュラー形式が結びつけられる。
• 構成により、モチーフ的周期環と穴あき楕円曲線の基本群のde Rham実現との間の自然な同型が確立され、リー代数生成子の明示的計算が可能になる。