[論文レビュー] Elliptic quantum groups and their finite-dimensional representations

Sachin Gautam, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ドリンフェルトの半電流を用いて、楕円的量子群 $\tau_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ の有限次元表現のカテゴリを内因的かつ一様に定義する。これは、$\mathfrak{sl}_2$ に対する先行研究を拡張し、$\mathfrak{sl}_n$ に対してフェルダーの RLL 構成を再現する。主な貢献は、楕円的ドリンフェルト多項式による既約表現の分類であり、ヤングアンと量子ループ代数の分類と類似する、$|\mathbf{I}|$ 個の楕円曲線 $E_\tau$ の対称積のコピーとの間の全単射を確立する。

ABSTRACT

Let g be a complex semisimple Lie algebra, tau a point in the upper half-plane, and h a complex deformation parameter such that the image of h in the elliptic curve E_tau is of infinite order. In this paper, we give an intrinsic definition of the category of finite-dimensional representations of the elliptic quantum group E_{h,tau}(g) associated to g. The definition is given in terms of Drinfeld half-currents and extends that given by Enriquez-Felder for g=sl_2. When g=sl_n, it reproduces Felder's RLL definition via the Gauss decomposition obtained by Enriquez-Felder for n=2 and by the first author for n greater than 2. We classify the irreducible representations of E_{h,tau} in terms of elliptic Drinfeld polynomials, in close analogy to the case of the Yangian Y_h(g) and quantum loop algebra U_q(Lg) of g. A crucial ingredient in the classification, which circumvents the fact that E_{h,tau} does not appear to admit Verma modules, is a functor from finite-dimensional representations of U_q(Lg) to those of E_{h,tau} which is an elliptic analogue of the monodromy functor constructed in our previous work arXiv:1310.7318. Our classification is new even for g=sl_2, and holds more generally when g is a symmetrisable Kac-Moody algebra, provided finite-dimensionality is replaced by an integrability and category O condition.

研究の動機と目的

• 複素単純リー代数 $\mathfrak{g}$ に関連する楕円的量子群 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ の有限次元表現のカテゴリを、内因的かつ一様に定義すること。
• ドリンフェルトの半電流実現を楕円的量子群に拡張し、エンリケス＝フェルダーの $\mathfrak{sl}_2$ に対する結果を一般化するとともに、ガウス分解を用いて $\mathfrak{sl}_n$ に対してフェルダーの RLL 構成を回復すること。
• $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ の既約有限次元表現を、ドリンフェルト多項式の楕円的類似を用いて分類すること。
• $U_q(L\mathfrak{g})$-表現から $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表現への関手 $\Theta$ を構成し、ヴァーマモジュールの不在を補う楕円的モノドロミー関手としての役割を果たすこと。

提案手法

• スペクトル変数および動的パラメータを含む、$\operatorname{End}(\mathbb{V})$-値のメロモルフィック関数 $\Phi_i(u,\lambda)$、$\mathfrak{X}_i^\pm(u,\lambda)$ を用いて、カテゴリ $\operatorname{Rep}_{\scriptscriptstyle{\operatorname{fd}}}\left(\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})\right)$ を定義する。これらは楕円的交換関係を満たす。
• パラメータ $\lambda$ に依存しない $\Phi_i(u,\lambda)$ を満たす部分カテゴリ $\mathcal{L}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ に制限し、分類問題を単純化する。
• 楕円曲線 $E_\tau = \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z})$ の対称積に符号化された楕円的ドリンフェルト多項式を導入し、その零点が既約表現をパラメトライズする。
• $U_q(L\mathfrak{g})$-表現から $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表現への関手 $\Theta$ を構成し、モノドロミー関手の楕円的類似としての役割を果たす。
• $\Theta$ を用いて、$U_q(L\mathfrak{g})$ における既知の分類結果を楕円的設定に持ち上げることで、既約表現を分類する。
• テータ関数の性質および対称核の還元を用いて、重要な関係式を検証し、$\theta$-関数およびモジュラーパラメータにおける恒等式に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円的量子群の有限次元表現のカテゴリは、すべてのリー型にわたって、どのように内因的かつ一様に定義可能か？
• RQ2 ヤングアンおよび量子ループ代数の事例と同様に、ドリンフェルト多項式の楕円的類似を用いて、楕円的量子群の既約表現を分類することは可能か？
• RQ3 $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ にヴァーマモジュールが存在しないという点をどのように克服し、既約表現を分類できるか？
• RQ4 量子ループ代数 $U_q(L\mathfrak{g})$ は、$\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表現の構成において果たす役割は何か？また、関手 $\Theta$ は両者をどのように関連付けるか？
• RQ5 $\mathfrak{sl}_n$ におけるガウス分解は、半電流実現を用いて、フェルダーの RLL カテゴリをどの程度まで回復できるか？

主な発見

• カテゴリ $\mathcal{L}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$ 内の既約表現の同型類の集合は、$|\mathbf{I}|$ 個の楕円曲線 $E_\tau$ の対称積 $SE_\tau = \bigcup_{n\geq 0} E_\tau^n / \mathfrak{S}_n$ のコピーと双対写像をなす。このパラメータは楕円的ドリンフェルト多項式によって与えられる。
• 分類は、ヤングアンおよび量子ループ代数の分類と形式的に類似しており、既約表現 $\mathbb{V}(\mathbf{b})$ は $E_\tau$ の対称積の $|\mathbf{I}|$-重に依存する。
• 関手 $\Theta$ は、$U_q(L\mathfrak{g})$-表現から $\mathcal{E}_{\hbar,\tau}(\mathfrak{g})$-表現への橋渡しを提供し、ヴァーマモジュールの不在にもかかわらず分類を可能にする。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ の場合、半電流実現はガウス分解を用いてフェルダーの RLL カテゴリを再現する。これは、$n=2$ の場合の先行結果を一般化する。
• 可換化可能なカク＝ムーディ代数に対しては、有限次元性の代わりに整数性およびカテゴリ $\mathcal{O}$ 条件を仮定することで、分類が成り立つ。
• 重要な関係式の証明は、テータ関数の恒等式および対称核の還元に依拠しており、$f_1'$、$f_3'$ およびそれらの組み合わせの明示的表現が $\theta$-関数および $q$-変形を用いて与えられる。