[論文レビュー] Elliptic Virasoro Conformal Blocks

Amer Iqbal, Can Kozçaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R} \times S^1$ 上に compactified された六次元 $(p,q)$-brane ワークスを研究することにより、楕円的 Virasoro conformal block を導入し、Ding-Iohara 代数の楕円的変形をもたらす。また、5次元 ${\cal N}=1$ $SU(N)$ ゲージ理論のインスタントン分配関数（$N_f=2N$ フレーバー）を再現する楕円的 Dotsenko-Fateev 積分を計算し、楕円的設定における精製 $q$-deformed AGTW 対応関係を確立する。

ABSTRACT

We study certain six dimensional theories arising on $(p,q)$ brane webs living on $\mathbb{R} imes S^1$. These brane webs are dual to toric elliptically fibered Calabi-Yau threefolds. The compactification of the space on which the brane web lives leads to a deformation of the partition functions equivalent to the elliptic deformation of the Ding-Iohara algebra. We compute the elliptic version Dotsenko-Fateev integrals and show that they reproduce the instanton counting of the six dimensional theory.

研究の動機と目的

• 6次元 $(p,q)$-brane ワークスを $\mathbb{R} \times S^1$ 上に compactified することにより、AGTW 対応関係を楕円的設定に一般化すること。
• トーリックな楕円的ファイバー付き Calabi-Yau 3-fold の幾何学から、Ding-Iohara 代数の楕円的変形を導出すること。
• 楕円的 Dotsenko-Fateev 積分を計算し、5次元 ${\cal N}=1$ $SU(N)$ ゲージ理論（$N_f=2N$ フレーバー）のインスタントン分配関数とその等価性を示すこと。
• 楕円的 conformal block と 5次元ゲージ理論のインスタントン数え上げの間の新しい対応関係を確立し、$q$-deformed AGTW duality を楕円的設定に拡張すること。

提案手法

• 6次元 $(p,q)$-brane ワークスを $\mathbb{R} \times S^1$ 上に compactified すると、分配関数の変形が生じ、Ding-Iohara 代数の楕円的変形と等価になる。
• インスタントン分配関数は、精製 topological vertex を用いて計算され、パラメータ $t$ と $q$ を用いたマケドナルド多項式およびスケーリングされたシュール関数で表現される。
• 精製 topological vertex および行列モデル技法を用いて、 conformal block の Dotsenko-Fateev 表現を楕円的設定に一般化する。
• 計算は、シュール関数、マケドナルド多項式、およびウェイルベクトル $\rho = \{-1/2, -3/2, \dots\}$ に関する恒等式に依存し、$\widetilde{Z}_\nu(t,q)$ を用いた正規化が行われる。
• 主要な恒等式には、シュール関数の和則および頂点振幅の積の恒等式が含まれ、たとえば $\prod_{i,j} (1 - Q q^{\nu_i - j} t^{\mu^t_j - i + 1}) / (1 - Q q^{-j} t^{-i+1})$ のような形である。
• 楕円的設定では $\theta$-関数および Dedekind $\eta$-関数が用いられ、 conformal block 構造と整合するモジュラー性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元 $(p,q)$-brane ワークスを $\mathbb{R} \times S^1$ 上に compactified することにより、Ding-Iohara 代数の楕円的変形がどのように生じるか？
• RQ2 5次元 ${\cal N}=1$ $SU(N)$ ゲージ理論（$N_f=2N$ フレーバー）のインスタントン分配関数を再現できるように、楕円的 Dotsenko-Fateev 積分を計算できるか？
• RQ3 精製 topological vertex は、楕円的 conformal block の計算および $q$-deformed AGTW 対応関係との関係において果たす役割は何か？
• RQ4 シュール関数、マケドナルド多項式、およびウェイルベクトル $\rho$ に関する恒等式は、楕円的 conformal block の計算をどのように支援するか？
• RQ5 得られる楕円的 conformal block のモジュラー構造は何か？ そして、$\theta$-関数および $\eta$-関数にどのようにエンコードされるか？

主な発見

• 楕円的 Dotsenko-Fateev 積分が計算され、5次元 ${\cal N}=1$ $SU(N)$ ゲージ理論（$N_f=2N$ フレーバー）のインスタントン分配関数を再現することが示された。
• 精製 topological vertex を用いた計算により、マケドナルド関数およびスケーリングされたシュール関数で表現される正規化された分配関数が得られ、$\widetilde{Z}_\nu(t,q)$ がインスタントン内容を捉えている。
• braneweb を $\mathbb{R} \times S^1$ 上に compactified することにより、Ding-Iohara 代数の楕円的変形が自然に生じ、幾何学と代数的構造が結びついた。
• シュール関数の和則および頂点振幅の積の恒等式は、分配関数の最終形を導出する上で不可欠である。
• $\theta$-関数および Dedekind $\eta$-関数の使用により、得られる conformal block のモジュラー不変性が保証され、楕円的 conformal field theory と整合的である。
• この対応関係により、$q$-deformed AGTW duality が楕円的設定に拡張され、楕円的 conformal block を用いた 5次元インスタントン数え上げの新たな実現が得られた。