[論文レビュー] Gauge/Liouville Triality

Mina Aganagic, Nathan Haouzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 66被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、q-リウヴィル conformal field theory、Ωバックグラウンド上の3次元N=2 U(N)ゲージ理論、および2Mのフューチャーをもつ5次元N=1 U(M)ゲージ理論の三重性を確立する。Dotsenko-Fateev積分によるq-リウヴィル conformalブロックが、3次元ゲージ理論の分配関数と正確に一致することを示し、さらにその分配関数がクーロンmoduliが量子化されたとき、5次元理論のNekrasovインスタントン和に等しくなる。この対応関係は留数計算により証明され、極は分割によってラベル付けられ、留数はNekrasov和項に対応する。

ABSTRACT

Conformal blocks of Liouville theory have a Coulomb-gas representation as Dotsenko-Fateev (DF) integrals over the positions of screening charges. For q-deformed Liouville, the conformal blocks on a sphere with an arbitrary number of punctures are manifestly the same, when written in DF representation, as the partition functions of a class of 3d U(N) gauge theories with N=2 supersymmetry, in the Omega-background. Coupling the 3d gauge theory to a flavor in fundamental representation corresponds to inserting a Liouville vertex operator; the two real mass parameters determine the momentum and position of the puncture. The DF integrals can be computed by residues. The result is the instanton sum of a five dimensional N=1 gauge theory. The positions of the poles are labeled by tuples of partitions, the residues of the integrand are the Nekrasov summands.

研究の動機と目的

• q-リウヴィル conformal field theoryとΩバックグラウンド上の3次元N=2 U(N)ゲージ理論の双対性を確立すること。
• Dotsenko-Fateevによるq-リウヴィル conformalブロックの表現が、フューチャーをもつ3次元ゲージ理論の分配関数と等価であることを示すこと。
• 3次元ゲージ理論が、2Mのフューチャーをもつ5次元N=1 U(M)ゲージ理論からボルテックス理論として導かれる仕組みを示すこと。
• クーロン分岐パラメータが量子化されたとき、3次元理論の分配関数が5次元理論のNekrasovインスタントン和に等しくなることを証明すること。
• 5次元ゲージ理論とAGT対応関係を結ぶスペクトル双対性の役割を明らかにし、5次元理論がAGT関連理論のスペクトル双対であることを示すこと。

提案手法

• Dotsenko-Fateevの自由場表現を用いて、q-リウヴィル conformalブロックをスクリーニング荷電の位置に関する積分として表現する。
• Dotsenko-Fateev積分を、M_q = (C × S^1)_q というΩバックグラウンドにおける3次元N=2 U(N)ゲージ理論の分配関数として特定する。
• 3次元ゲージ理論にM個のフューチャー超多重項をカップリングし、チラル多重項の実質量がリウヴィル頂点演算子の運動量と位置を符号化することを示す。
• 留数計算により分配関数を計算し、極は分割のタプルによってラベル付けられ、留数はNekrasov和項に対応する。
• 得られた和が、M_{q,t} = (C × C × S^1)_{q,t} 上に定義された5次元N=1 U(M)ゲージ理論（2Mのフューチャーをもつ）のNekrasov分配関数と一致することを示す。
• 5次元理論がAGT関連理論のスペクトル双対であることを確立し、同じSeiberg-Witten曲線を共有するが、異なるラグランジアンを持つことを見る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q-リウヴィル conformalブロックは、Ωバックグラウンドにおける3次元N=2ゲージ理論とどのように関係しているか？
• RQ2 Dotsenko-Fateev積分は、フューチャーをもつ3次元ゲージ理論の文脈で、どのように物理的に解釈できるか？
• RQ3 3次元ゲージ理論は、5次元N=1ゲージ理論からどのようにボルテックス理論として導かれるか？
• RQ4 なぜクーロンmoduliが量子化されたとき、5次元ゲージ理論と3次元ゲージ理論のNekrasov分配関数が一致するのか？
• RQ5 この三重性は、5次元ゲージ理論におけるAGT対応およびスペクトル双対性とどのように関係しているか？

主な発見

• M+2個の穴あきを持つ球面上のq-リウヴィル conformalブロックに対するDotsenko-Fateev積分は、明示的にM個のフューチャーをもつ3次元N=2 U(N)ゲージ理論の分配関数に等しい。
• リウヴィル頂点演算子の挿入は、3次元ゲージ理論にフューチャー超多重項をカップリングすることに対応し、チラル多重項の実質量が穴あきの運動量と位置を符号化する。
• 3次元ゲージ理論の分配関数は留数計算により計算され、極は分割のタプルによってラベル付けされ、留数はNekrasov和項に等しい。
• クーロン分岐パラメータが量子化されたとき、3次元ゲージ理論の分配関数は、2Mのフューチャーをもつ5次元N=1 U(M)ゲージ理論のNekrasovインスタントン和と一致する。
• 5次元ゲージ理論はAGT関連理論のスペクトル双対であり、同じSeiberg-Witten曲線を共有するが、異なるラグランジアンを持つ。
• q-リウヴィルCFT、3次元ゲージ理論、および5次元ゲージ理論の三重性は、直接的な検証により証明され、任意のNに対して成り立ち、大N極限により連続的な運動量と完全なリウヴィル相関関数が得られる。