[論文レビュー] Encoding classical data into a quantum computer

Kumar Ghosh|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、スミット分解と特異値分解（SVD）を用いて、n-クオッド系において2キュービットゲートの数をO(2^{2n})からO(2^n)に削減することで、古典的データを量子状態に効率的に符号化する手法を提案する。このアプローチにより、任意の多キュービット状態をより少ないエンタングルゲートで準備する量子回路を構築でき、量子計算における回路の複雑さと誤差率を顕著に低減する。

ABSTRACT

In this article we describe a technique to transfer data from classical domain to quantum domain. We consider a set of $N (=2^n)$ classical data in the form of a column matrix and prepare a $n$-qubit quantum state, whose components correspond to the $N$ classical data. To prepare this $n$-qubit quantum vector we use Schmidt decomposition and singular value decomposition techniques respectively and construct the corresponding family of quantum circuits. To strengthen our argument we also give specific examples by considering a set of 4 and 16 classical data and constructing the corresponding 2 and 4-qubit quantum vector respectively.

研究の動機と目的

• 量子アルゴリズムに使用するため、古典的データを量子状態に効率的に転送する課題に対処すること。
• 近位の量子デバイスにおける誤差率を最小限に抑えるために、任意のnキュービット状態を準備するために必要な2キュービット量子ゲートの数を削減すること。
• スミット分解とSVDに基づくスケーラブルな量子回路構築法を開発し、ゲート数と回路の深さを最小限に抑えること。
• 4および16個の古典的データポイントを2および4キュービット量子状態に符号化する明示的な例を用いて、この手法を実証すること。
• 奇数キュービット系にも一般化可能な量子回路の構築フレームワークを提供すること。

提案手法

• 古典的データ行列を特異値分解（SVD）によりユニタリ行列U、Σ、およびV†に分解し、効率的な状態準備を可能にする。
• スミット分解を適用して、特異値から得られるスミット係数λ_iを用いて、エンタングルド基底状態の和としてのターゲット量子状態を表現する。
• 4段階の手順で量子回路を構築する：(1) 個々のクオッドに単一キュービット回転を適用して最初のnキュービットにスミット係数を準備し、(2) CNOTゲートを用いて最初の2つのnキュービットレジスタをエンタングルし、(3) パウリ-XおよびSWAPゲートを用いて基底変換を実行し、(4) 第2レジスタに回転を適用してスミット基底を実装する。
• 変換行列のユニタリティを活用して、基底変換が量子ゲートによって物理的に実現可能であることを保証するが、最適なゲートシーケンスの特定は依然として困難である。
• 特異値から導かれる角度（例：θ = arcsin(σ_i)）を用いた回転ゲートU(θ)を用いて、個々のクオッドにスミット係数を準備する。
• システムを(n)および(n+1)-キュービット部分系に分割し、得られた行列にSVDを適用することで、奇数キュービット系にもこの手法を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、2キュービットゲートの数を最小限に抑えて、古典的データを多キュービット量子状態に符号化できるか？
• RQ2 スミット分解とSVDを用いることで、任意の量子状態を準備するために必要なエンタングルゲートの数を削減できるか？
• RQ3 この手法を用いて4キュービット量子状態を準備する際のゲート複雑度は、標準的手法と比較してどの程度か？
• RQ4 計算基底からスミット基底への基底変換は、量子回路でどのように効率的に実装できるか？
• RQ5 特に古典的前処理およびゲート合成の観点から、この手法の実装における実用的制限は何か？

主な発見

• この手法により、nキュービット状態を準備するために必要な2キュービットゲートの数は、O(2^{2n})からO(2^n)に削減され、回路の深さと誤差確率の面で顕著な指数的削減が達成される。
• 16個の古典的データポイントを4キュービット状態に符号化する場合、回路はたった2つのCNOTゲートと4つの単一キュービット回転ゲートで構成され、基底変換はパウリ-XおよびSWAPゲートで実装される。
• スミット係数は、データ行列の特異値から直接導かれるため、SVDが正確に行われれば、正確な状態準備が保証される。
• 基底変換ステップは複雑ではあるが、既知の量子ゲート分解を用いることで実現可能であり、nキュービット系では2キュービットゲートの数がO(2^n)で上限に抑えられる。
• レジスタを不均等な部分に分割し、得られた行列にSVDを適用することで、この手法は奇数キュービット系にも一般化可能である。
• このアプローチにより、任意の量子状態を効率的に準備できるようになり、量子機械学習やショアのアルゴリズムなどのより複雑な量子アルゴリズムの入力として利用可能になる。