[論文レビュー] Endomorphism algebras of hyperelliptic jacobians and finite projective lines

Arsen Elkin, Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Aug 6, 2005

Finite Group Theory Research参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ q \geq 5 $ が $ \pm 3 \mod 8 $ に合同な素数冪であり、ガロア群が $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ である多項式に関する双曲的ヤコビ多様体の自己準同型代数を調査する。$ \overline{K} $ 上での自己準同型代数は、$ \mathbb{Q} $ または実二次体であることが示され、$ q \equiv 3 \mod 8 $ の場合には、ヤコビ多様体が $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $ による複素乗法を持つ楕円曲線の自己積へ $ \overline{K} $-同種であることが示され、多くの場合に絶対的単純性が成立する。

ABSTRACT

We prove that the jacobian of a hyperelliptic curve y^2=f(x) is absolutely simple if deg(f)=q+1 where q is a power prime congruent to 5 modulo 8, the polynomial f(x) is irreducible over the ground field of characteristic zero and its Galois group is L_2(q).

研究の動機と目的

• 多項式 $ f(x) \in K[x] $ の次数が $ q+1 $ で、$ q $ が素数冪であり、$ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ であるような双曲的ヤコビ多様体 $ J(C_f) $ に対して、自己準同型代数 $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ の構造を特定すること。
• 特に $ q \equiv 3 \mod 8 $ の場合に $ J(C_f) $ が絶対的単純である条件を分析すること。
• 特に $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q) $ 上での分数線形変換によるガロア作用を伴う場合に、特徴が 0 の体上でのこのようなヤコビ多様体の可能な自己準同型代数を分類すること。
• $ \mathbb{Q} $ 上で絶対的単純ヤコビ多様体をもち、制御可能な自己準同型代数をもつ双曲的曲線の明示的例を構成すること。

提案手法

• ガロア群 $ \mathrm{Gal}(K) $ が $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ に作用する様子を、$ \ell $- torsion 点 $ J(C_f)[\ell] $ 上のガロア表現を用いて研究し、特に $ \tilde{G}_{4,J(C_f),K} \subset \mathrm{GL}(J(C_f)[4]) $ を用いる。
• アーベル多様体の自己準同型代数の理論の結果を適用し、$ \mathrm{End}_K^0(J(C_f)) $ のガロア群作用による不変性および体 $ K(J(C_f)[4]) $ の役割を検討する。
• 最小被覆および普遍中心拡大を含む群論的技法を用いて、ガロア群 $ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ を分析する。
• 虚二次整数環 $ \mathcal{O}_{-q} $ における類体論およびイデアル論を応用し、特に $ q \equiv 3 \mod 8 $ の場合に $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ の構造を研究する。
• MAGMA などの計算代数システムを用いて、$ \mathbb{Q}(S) $ 上の特定の多項式族に対してガロア群および自己準同型代数を検証する。
• ガロア群が $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ であるような明示的多項式族 $ f_{q,S}(x) $ を構成し、それらのヤコビ多様体を $ \mathbb{Q} $ 上で分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的ヤコビ多様体 $ J(C_f) $ の自己準同型代数 $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ が $ \mathbb{Q} $ または実二次体に等しくなる条件は何か？
• RQ2 $ J(C_f) $ が $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $ による複素乗法を持つ楕円曲線の自己積へ $ \overline{K} $-同種となるのはいつか？
• RQ3 $ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ かつ $ q \equiv 3 \mod 8 $ の場合に $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ の構造は何か？
• RQ4 どのようにすれば、$ \mathbb{Q} $ 上で絶対的単純ヤコビ多様体と制御可能な自己準同型代数をもつ双曲的曲線の明示的例を構成できるか？

主な発見

• 特徴が 0 の体 $ K $ に対して、$ n = q+1 $、$ q \geq 5 $、$ q \equiv \pm 3 \mod 8 $、$ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ であるとき、$ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ は $ \mathbb{Q} $ または実二次体であり、$ J(C_f) $ が絶対的単純であることを示唆する。
• $ q \equiv 3 \mod 8 $ の場合、$ J(C_f) $ は $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $ による複素乗法を持つ楕円曲線の自己積へ $ \overline{K} $-同種であり、自己準同型代数は $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $ である。
• $ q \geq 11 $ かつ $ q \equiv 3 \mod 8 $ の場合、ガロア表現および群論的議論を用いて、ヤコビ多様体 $ J(C_f) $ は $ \mathbb{Q} $ 上で絶対的単純であることが示された。
• $ f_{11,S}(x) $ および $ f_{13,S}(x) $ の明示的構成により、次元 5 および 6 の $ \mathbb{Q} $ 上の双曲的曲線が得られ、それらのヤコビ多様体はいずれも絶対的単純である。
• $ q \equiv \pm 3 \mod 8 $ のすべての場合において、$ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ は $ \mathbb{Q} $ または実二次体であるが、$ q \equiv 3 \mod 8 $ の場合に限り、複素乗法構造が現れる。
• MAGMA を用いた計算的検証により、有理数の特殊化 $ s = m/n $ に対してもガロア群は $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ のままであり、ヤコビ多様体も絶対的単純のままであることが確認された。