[論文レビュー] Endomorphisms of relatively hyperbolic groups

Igor Belegradek, Andrzej Szczepański+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、双曲的群の自己準同型に関する古典的結果を、相対的双曲的群へと拡張し、非初等的な相対的双曲的群で、スレンダーパラボリック部分群をもち、かつコホープであるか、または外部自己同型群が無限大である場合には、その群がスレンダーパートに沿って分裂することを証明する。さらに、R-木への作用が自明である非パラボリック部分群はホープフィアンであることが示され、任意の有限生成群が、カジダールの性質(T)をもつ群の外部自己同型群の有限指数部分群として実現可能であることが示される。

ABSTRACT

We generalize some results of Paulin and Rips-Sela on endomorphisms of hyperbolic groups to relatively hyperbolic groups, and in particular prove the following. (1) If G is a finitely generated non-elementary relatively hyperbolic group with slender parabolic subgroups, and either G is not co-Hopfian or Out(G) is infinite, then G splits over a slender group. (2) If a finitely generated non-parabolic subgroup H of a non-elementary relatively hyperbolic group is not Hopfian, then H acts non-trivially on an R-tree. (3) Every non-elementary relatively hyperbolic group has a non-elementary relatively hyperbolic quotient that is Hopfian. (4) Any finitely presented group is isomorphic to a finite index subgroup of Out(H) for some Kazhdan group H. (This sharpens a result of Ollivier-Wise).

研究の動機と目的

• 双曲的群の自己準同型に関する古典的結果を、より広いクラスの相対的双曲的群へ一般化すること。
• 特にコホープフィアンおよびホープフィアン条件に関して、相対的双曲的群の構造的性質を調査すること。
• ホープフィアン商の存在および、性質(T)をもつ群の外部自己同型群への有限指数埋め込みを確立すること。
• ヒグマン埋め込みと準多様体理論を用いて、すべての非可換有限生成群を含む、ねじれのない普遍的な有限生成群を構成すること。

提案手法

• JSJ分解や短縮法を避けるために、任意のパラボリック部分群をもつ相対的双曲的群に、ベストヴィナ＝ポールン法を適応する。
• 指定されたパラボリック部分群をもつ、双曲的空間上の幾何的に有限な収束群作用を用いた、相対的双曲的群の定義を用いる。
• 収束群のティーツの代数的選択肢を適用し、小部分群を分類し、初等性を決定する。
• 再帰的に提示された普遍群を、ねじれのない群の準多様体において構成するために、ヒグマン埋め込み定理を用いる。
• 自己同型群および外部自己同型群の構造を活用し、任意の有限生成群を有限指数部分群として埋め込む。
• Aut(H)の双曲的性は、有限指数部分群Gを含むことから従うという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非初等的な相対的双曲的群が、スレンダーパートに沿って分裂する条件は何か？
• RQ2 R-木への等長作用がすべて自明であるとされる非パラボリック部分群Hが、相対的双曲的群Gにおいてホープフィアンである条件は何か？
• RQ3 任意の有限生成群が、カジダールの性質(T)をもつ群HのOut(H)の有限指数部分群として実現可能か？
• RQ4 すべてのねじれのない有限生成群を同型コピーとして含む、普遍的なねじれのない有限生成群が存在するか？

主な発見

• Gが非初等的な相対的双曲的群で、パラボリック部分群がスレンダーパートをもち、かつGがコホープでないか、Out(G)が無限大であるならば、Gはスレンダーパートに沿って分裂する。
• 相対的双曲的群Gの非パラボリック部分群Hが、すべてのR-木への等長作用が自明であるならば、Hはホープフィアンである。
• 有限生成パラメータ部分群をもつ非初等的な相対的双曲的群は、ホープフィアンである非初等的な相対的双曲的商をもつ。
• 任意の有限生成群は、カジダール性質(T)をもつ群HのOut(H)の有限指数部分群と同型である。これは、オリヴィエ＝ヴァイスの結果を強化する。
• ヒグマン埋め込みにより、再帰的に提示されたねじれのない群を有限生成群に埋め込むことで、ねじれのない普遍的な有限生成群が構成可能である。
• 性質(T)をもつ群Hの自己同型群は、有限指数部分群を含むことから、双曲的である。