[論文レビュー] Enriched monoidal categories I: centers

Liang Kong, Wei Yuan+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 59被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、背景カテゴリが変化する可能性がある一般化された2カテゴリカル枠組みにおいて、豊密化（braided）モノイダル圏の $E_0$-、$E_1$-、および $E_2$-中心を導入する。これらの中心は、自然な構成により明示的に計算され、豊密化対称モノイダル圏の $E_2$-中心が元の圏と同型であることが示され、トポロジカルな相転移および高次表現論への応用を有する。

ABSTRACT

This work is the first one in a series, in which we develop a mathematical theory of enriched (braided) monoidal categories and their representations. In this work, we introduce the notion of the $E_0$-center ($E_1$-center or $E_2$-center) of an enriched (monoidal or braided monoidal) category, and compute the centers explicitly when the enriched (braided monoidal or monoidal) categories are obtained from the canonical constructions. These centers have important applications in the mathematical theory of gapless boundaries of 2+1D topological orders and that of topological phase transitions in physics. They also play very important roles in the higher representation theory, which is the focus of the second work in the series.

研究の動機と目的

• 異なる背景カテゴリを持つ圏間の関手を許容する、豊密化（braided）モノイダル圏の一般化された理論を構築すること。
• 背景カテゴリの変更を許容する2カテゴリカル枠組みにおいて、豊密化圏の $E_0$-、$E_1$-、および $E_2$-中心を定義し、計算すること。
• 特に対称モノイダル背景の場合に、自然な構成を用いてこれらの中心を明示的に記述すること。
• ギャップレス境界やトポロジカル相転移を含む、高次表現論および物性物理学への応用のための基盤を構築すること。
• 従来の対称モノイダルベースにとどまらず、braidedおよびsymmetricモノイダル背景を統合することで、古典的豊密化圏論を一般化すること。

提案手法

• 任意の背景カテゴリ（braidedおよびsymmetricモノイダルを含む）を許容する豊密化圏の2カテゴリを導入する。
• 背景カテゴリを変更可能な一般化された豊密化関手および自然変換を定義し、表現論における柔軟な枠組みを提供する。
• $E_0$-中心を豊密化圏の普遍的構成として定義し、豊密化設定におけるDrinfeld中心の一般化を実現する。
• 自然な構成を用いて、背景カテゴリ上のモジュール構造から豊密化モノイダル圏およびbraidedモノイダル圏を生成する。
• 強単位braidedモジュール圏の理論を用いて、豊密化対称モノイダル圏の $E_2$-中心を特徴付ける。
• 特定の条件下（背景が対称的で、モジュールが強単位的である場合）で、中心と元の圏の間に同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称またはbraided背景を持つ豊密化圏に対して、Drinfeld中心をどのように一般化できるか？
• RQ2 背景がbraidedであるとき、豊密化モノイダル圏の $E_1$-中心の構造は何か？
• RQ3 豊密化対称モノイダル圏の $E_2$-中心が自然な構成を用いて元の圏とどのように関係するか？
• RQ4 背景カテゴリが豊密化中心の構造をどのように決定するか？
• RQ5 異なる背景カテゴリ間で中心構成を関手的に行うことは可能か？これにより統一的な表現論が可能になるか？

主な発見

• 豊密化対称モノイダル圏 ${\mathcal{C}}$-豊密化圏 $\mathcal{M}$ の $E_2$-中心は、$\mathcal{C}$-豊密化 $\mathfrak{Z}_2(\mathcal{M})$ と同型であることが示され、対称豊密化下で中心が元の構造を回復することを示している。
• 対称融合圏 $\mathcal{E}$ に対して、$\mathcal{E}\mathcal{E}$ の $E_2$-中心は $\mathcal{E}\mathcal{E}$ 自身と同型である。これは、中心構成における自己双対性を示している。
• $\mathcal{A}$ が非退化braided融合圏で、$\mathcal{L}$ が多重融合左 $\mathcal{A}$-モジュールであるとき、$\mathcal{L}$ の $E_1$-中心の $E_2$-中心は自明圏 $\mathbb{k}$ と同値である。これは、ある種の双対性を示している。
• $E_0$-中心は、豊密化自然同型と自然関手を含む普遍的性質を用いて計算され、古典的中心構成の一般化を実現している。
• $E_1$-中心は、豊密化モノイダル圏において、豊密化設定におけるDrinfeld中心と同値であることが示され、古典的結果が豊密化文脈に拡張されている。
• テンソル単位およびモジュール構造を含む自然同型を用いて、$Q_1$ から $Q_2$ への明示的な豊密化自然同型 $\alpha$ が構成され、中心構成の一意性および普遍性が証明されている。