[論文レビュー] Boundary-bulk relation for topological orders as the functor mapping higher categories to their centers

Liang Kong, Xiao-Gang Wen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 63被引用数 51

ひとこと要約

この論文は、ギャップを持つ境界のbulkをユニタリマルチファージョンnカテゴリの中心として特定することにより、トポロジカルオーダーにおける関手的境界-バルク関係を確立する。ユニバーサル性を用いてバルクの一意性を証明し、バルク構成が数学的中心構成と等価であることを示し、高次元におけるトポロジカルオーダー分類と物理的双対性関係を統一するカテゴリカルな枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between topological orders and their gapped boundaries. We propose that the bulk for a given gapped boundary theory is unique. It is actually a consequence of a microscopic definition of a local topological order, which is a (potentially anomalous) topological order defined on an open disk. Using this uniqueness, we show that the notion of "bulk" is equivalent to the notion of center in mathematics. We achieve this by first introducing the notion of a morphism between two local topological orders of the same dimension, then proving that the bulk satisfying the same universal property as that of the center in mathematics. We propose a classification (formulated as a macroscopic definition) of $n+$1D local topological orders by unitary multi-fusion $n$-categories, and explain that the notion of a morphism between two local topological orders is compatible with that of a unitary monoidal $n$-functor in a few low dimensional cases. We also explain in some low dimensional cases that this classification is compatible with the result of "bulk = center". In the end, we explain that above boundary-bulk relation is only the first layer of a hierarchical structure which can be summarized by the functoriality of the bulk (or center). This functoriality also provides the physical meanings of some well-known mathematical results on fusion 1-categories. This work can also be viewed as the first step towards a systematic study of the category of local topological orders, and the boundary-bulk relation actually provides a useful tool for this study.

研究の動機と目的

• 任意の次元においてトポロジカルオーダーの境界-バルク関係を厳密に数学的に枠組みづけること。
• 局所的トポロジカルオーダーの微視的定義に基づき、与えられたギャップを持つ境界に対してバルク理論の一意性を証明すること。
• ユニタリマルチファージョンnカテゴリの数学的中心が、トポロジカルオーダーの物理的バルクに正確に一致することを示すこと。
• ユニタリマルチファージョンnカテゴリを用いて(n+1)次元の局所的トポロジカルオーダーのマクロな分類を定式化すること。
• バルク構成の関手的性質を示し、トポロジカルオーダー関係の背後にある階層的構造を明らかにすること。

提案手法

• 低次元の場合において、局所的トポロジカルオーダー間の準同型をユニタリモノイダルn関手として導入し、物理的双対性を高次元のカテゴリへ一般化すること。
• 次元削減と物理的配置の折りたたみを用いて、数学的中心構成と一致する普遍的性質に基づきバルクを定義すること。
• 強い一意バルク仮説を用いて、境界相を持つ任意の物理的配置が、境界カテゴリの中心と等価な一意のバルクを持つことを証明すること。
• 境界相がそのバルクのギャップを持つ境界となるように、(n+1)次元配置における折りたたみ手続きを用いて中心の物理的実現を構成すること。
• 2+1次元およびそれ以下の次元において、ユニタリマルチファージョンnカテゴリによる分類がバルク = 中心関係と整合することを示すこと。
• トポロジカルオーダーの圏における高階の準同型および弱い準同型が、anyon凝縮や次元削減といった物理的過程に対応することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたギャップを持つ境界理論に対して、トポロジカルオーダーにおけるバルク理論は一意に定まるか？
• RQ2 物理的バルクの概念を数学的にカテゴリの中心と特定できるか？
• RQ3 ユニタリマルチファージョンnカテゴリによる(n+1)次元トポロジカルオーダーの分類は、境界-バルク双対性とどのように関係するか？
• RQ4 関手的性質は、トポロジカルオーダーの階層的構造において果たす役割は何か？
• RQ5 anyon凝縮や次元削減といった物理的過程は、高次元のカテゴリ的構成とどのように対応するか？

主な発見

• ギャップを持つ境界理論のバルクは、数学的中心構成と一致する普遍的性質を満たし、一意に定まる。
• トポロジカルオーダーの物理的バルクは、その境界カテゴリの中心と数学的に等価であり、物理学と圏論の間の明確な対応関係を確立する。
• ユニタリマルチファージョンnカテゴリによる(n+1)次元の局所的トポロジカルオーダーの分類は、低次元における境界-バルク関係「バルク = 中心」に整合する。
• 折りたたみと次元削減によるバルク構成は、カテゴリの中心の物理的実現を提供し、普遍的性質が一意性を保証する。
• 境界-バルク関係は関手的であり、バルク構成が次元を越えて圏的構造を保存する階層的構造を形成する。
• 得られた結果は、例えばDrinfeld中心が可能なかつてのバルクの圏における終端対象としての普遍性といった、ファージョン1カテゴリにおける深い数学的結果の物理的解釈を提供する。