[論文レビュー] Entanglement Entropy and Duality

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Quantum many-body systems参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、代数的アプローチを用いて、イジング模型におけるクラマース＝ヴァーナー双対性やジョルダン＝ヴァイナー双対性などの場の理論的双対性の下でエンタングルメントエントロピーが保存されることを示している。エンタングルメントエントロピーは、外部自由度のトレースとスーパーセレクション領域の和を組み合わせることで生じる。一方、ある理論における最大な可観測量の代数は、双対理論では非最大となることが示された。

ABSTRACT

Using the algebraic approach to entanglement entropy, we study several dual pairs of lattice theories and show how the entropy is completely preserved across each duality. Our main result is that a maximal algebra of observables in a region typically dualizes to a non-maximal algebra in a dual region. In particular, we show how the usual notion of tracing out external degrees of freedom dualizes to a tracing out coupled to an additional summation over superselection sectors. We briefly comment on possible extensions of our results to more intricate dualities, including holographic ones.

研究の動機と目的

• 既知の場の理論的双対性の下でのエンタングルメントエントロピーの変換を調査すること、特に格子イジング模型における変換を対象とする。
• 特に空間的に定義されていないか、最大でない部分代数がエンタングルメントエントロピーの定義に果たす役割を明確化すること。
• 双対性が最大な代数を非最大な代数に写像することを示し、エントロピーの保存にはスーパーセレクション領域の和が必要となること。
• アーベル理論からの知見をホログラフィー的双対性やゲージ理論への応用に拡張すること。
• エンタングルメントエントロピーが空間的領域をトレースアウトすることで定義されるという従来の考え方に挑戦し、それが代数的選択に依存することを示すこと。

提案手法

• エンタングルメントエントロピーの代数的アプローチを用い、縮約密度行列 ρ_V を、単位トレースかつ正しい期待値を持つ部分代数 A_V 内の唯一の正定値自己共役作用素として定義する。
• エンタングルメントエントロピーを von Neumann エントロピー S = -Tr(ρ_V log ρ_V) を用いて、最大でない部分代数を含むさまざまな部分代数に対して計算する。
• 1次元および2次元イジング模型におけるクラマース＝ヴァーナー双対性や1次元におけるジョルダン＝ヴァイナー双対性といった双対ペアを分析し、可観測量および代数の写像を重点的に検討する。
• ある理論における標準的なトレースアウト手順が、双対理論ではトレースとスーパーセレクション領域の和の組み合わせに対応することを示す。
• Z_k および U(1) ゲージ理論に結果を一般化し、電磁気的中心と磁気的中心の選択が双対性の下で互いに写像されることを示す。
• ホログラフィーへの含意を予想し、ボリューム内エントロピーが最大境界代数に対応しない可能性があり、双対理論では領域の和をとる必要があると示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分代数が空間的領域上で最大でない場合、エンタングルメントエントロピーは場の理論的双対性の下でどのように変化するか？
• RQ2 ある理論における最大代数のエンタングルメントエントロピーと、その双対理論における対応するエントロピーとの正確な写像関係は何か？
• RQ3 標準的なトレースアウト手順が、双対理論におけるエンタングルメントの完全な構造を捉えられないのはなぜか？
• RQ4 スーパーセレクション領域と端縁作用素は、双対理論におけるエンタングルメントエントロピーの定義にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ホログラフィック双対性に応用可能なエンタングルメントエントロピーの代数的アプローチは拡張可能か？その場合、どのような修正が必要か？

主な発見

• エンタングルメントエントロピーは、部分代数が空間的領域上で最大でない場合であっても、双対性の下で保存される。
• ある理論における最大な可観測量の代数は、双対理論では非最大な代数に写像され、エントロピーは外部自由度のトレースとスーパーセレクション領域の和の組み合わせによって生じる。
• ゲージ理論では、境界でのガウス作用素を除くと、トポロジカルな領域の和が生じ、これは双対性の下でのエントロピー保存に不可欠である。
• マクスウェル理論のスカラー双対において、端縁作用素を除くことは、巻き付き領域の和に相当し、これはもともとトポロジカルなエンタングルメントエントロピーを再現する仕組みとして知られている。
• 代数的アプローチにより、エンタングルメントエントロピーが空間的領域に一意に結びついているのではなく、部分代数の選択に依存することが明らかになった。双対性は空間的およびトポロジカルな概念を混ぜ合わせる。
• 3次元の電磁双対性において、電気側の最大代数は双対側の磁気的中心選択に対応し、領域の和を通じてエントロピーが保存される。