[論文レビュー] On the definition of entanglement entropy in lattice gauge theories

Sinya Aoki, Takumi Iritani+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2015

Quantum many-body systems参考文献 39被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、格子規則場理論におけるエンタングルメントエントロピーの新しい定義を提案する。物理的ゲージ不変ヒルベルト空間を、リンク変数のより大きなゲージ非不変ヒルベルト空間に拡張することで、任意の領域$V$とその補集合$\bar{V}$に対してテンソル積の分解が回復され、標準的なエンタングルメントエントロピー計算が可能になる。この手法によりレプリカ公式が得られ、$Z_N$規則場理論におけるトポロジカル状態のエンタングルメントエントロピーが厳密に計算され、有限非アーベル群では$\log|G|$に等しくなることが示され、強い部分加法性などの標準的性質が満たされることも確認された。

ABSTRACT

We focus on the issue of proper definition of entanglement entropy in lattice gauge theories, and examine a naive definition where gauge invariant states are viewed as elements of an extended Hilbert space which contains gauge non-invariant states as well. Working in the extended Hilbert space, we can define entanglement entropy associated with an arbitrary subset of links, not only for abelian but also for non-abelian theories. We then derive the associated replica formula. We also discuss the issue of gauge invariance of the entanglement entropy. In the $Z_N$ gauge theories in arbitrary space dimensions, we show that all the standard properties of the entanglement entropy, e.g. the strong subadditivity, hold in our definition. We study the entanglement entropy for special states, including the topological states for the $Z_N$ gauge theories in arbitrary dimensions. We discuss relations of our definition to other proposals.

研究の動機と目的

• 物理的ヒルベルト空間がテンソル積に分解できないため、格子規則場理論におけるエンタングルメントエントロピーを定義する上での基礎的問題を解決すること。
• アーベルおよび非アーベル規則場理論の両方に適用可能な一貫性があり一般的なエンタングルメントエントロピーの定義を提供すること、任意のリンクの部分集合に対しても同様に適用可能であること。
• 提案された定義のもとで、強い部分加法性などの標準的エンタングルメントエントロピーの性質が成り立つことを示すこと。
• 任意次元における$Z_N$規則場理論におけるトポロジカル状態のエンタングルメントエントロピーを正確に計算し、解析的解を得ること。
• ゲージ固定がエンタングルメントエントロピー計算に与える影響を明確にすること。境界でのゲージ固定が物理的でない結果をもたらす可能性があることを示すこと。

提案手法

• 任意の領域$V$とその補集合$\bar{V}$に対してテンソル積の分解が回復されるように、物理的ゲージ不変ヒルベルト空間をリンク変数の全（ゲージ非不変）ヒルベルト空間に拡張する。
• 拡張されたヒルベルト空間において、$\bar{V}$のリンク変数をトレースアウトすることで、領域$V$の縮約密度行列を定義する。
• 得られた縮約密度行列のフォン・ノイマンエントロピーとしてエンタングルメントエントロピーを計算する。
• 拡張されたヒルベルト空間の枠組みにおいて、エンタングルメントエントロピーを能率的に計算するためのレプリカ公式を導出する。
• $Z_N$規則場理論におけるヒルベルト空間をゲージ変換の固有状態を用いて表現することで、特別な状態におけるエンタングルメントエントロピーの明示的計算が可能になる。
• 群表現論を用いて、$Z_N$および非アーベル群$G$の規則場理論におけるトポロジカル状態にこの形式を適用し、$p(\pi) = |\psi(\pi)|^2$およびそれによるエントロピーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的ヒルベルト空間がテンソル積に分解できない格子規則場理論において、エンタングルメントエントロピーを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 提案されたエンタングルメントエントロピーの定義は、$Z_N$規則場理論において、強い部分加法性などの標準的性質を満たすか？
• RQ3 任意の空間次元における$Z_N$規則場理論におけるトポロジカル状態のエンタングルメントエントロピーは何か？
• RQ4 特に領域間の境界におけるゲージ固定は、エンタングルメントエントロピーにどのように影響を与えるか？
• RQ5 本稿で提案された定義は、既存の文献における他の提案とどのように比較できるか？

主な発見

• $Z_N$規則場理論におけるトポロジカル状態のエンタングルメントエントロピーは、正確に$\log N$に等しく、有限非アーベル群の場合の結果と一致する。
• $Z_N$規則場理論において、提案された定義は強い部分加法性およびエンタングルメントエントロピーの他の標準的性質を満たす。
• 有限非アーベル群$G$の規則場理論におけるトポロジカル状態のエンタングルメントエントロピーは$\log|G|$に等しく、$p(\pi) = (\dim V_\pi)^2 / |G|$から導かれる。
• 領域$V$の縮約密度行列は、$\rho_V = \sum_\pi p(\pi)(\dim V_\pi)^{-2} \sum_{\alpha,\beta} (\sqrt{\dim V_\pi} |\pi_V^{\alpha\beta}\rangle)(\sqrt{\dim V_\pi} \langle\pi_V^{\beta\alpha}|)$として与えられ、明示的な計算が可能になる。
• エンタングルメントエントロピーはゲージ固定の選択に依存しており、領域間の境界でのゲージ固定が物理的でない結果をもたらす可能性があることから、避けるべきであることが示された。
• 拡張されたヒルベルト空間において導出されたレプリカ公式により、アーベルおよび非アーベル理論の両方においてエンタングルメントエントロピーの体系的な計算が可能になる。