[論文レビュー] Epsilon expansion of Appell and Kampé de Fériet functions

David Greynat, J. Sesma+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、フェインマン図計算において重要な役割を果たすAppell関数およびKampé de Fériet関数のε展開を体系的に計算する手法を提示する。この手法は、ポッホハマー記号およびその逆数の高次導関数を導出することに依拠しており、ε = 0回りのテイラー展開を用いる。閉形式の表現として一般化調和数および第一種スターリング数を含む式が得られ、パラメータがεに関して線形である超幾何関数のε展開を、効率的かつ解析的に計算可能にする。

ABSTRACT

The decomposition in partial fractions of the quotient of Pochhammer symbols improves considerably a method, suggested in a precedent paper, which allows one to obtain the $\varepsilon$-expansion of functions of the hypergeometric class. The procedure is applied to several Appell and Kampé de Fériet functions considered in the literature. Explicit expressions and interesting properties of the derivatives of the Pochhammer and reciprocal Pochhammer symbols, which are essential elements in the procedure, are given in an appendix.

研究の動機と目的

• パラメータがεに関して線形である超幾何関数のε展開を、一般的かつ効率的に計算するための手法を開発すること。特にAppell関数およびKampé de Fériet関数を対象とする。
• ポッホハマー記号およびその逆数のk階微分に対する閉形式の表現を導出すること。
• 1ループおよび2ループフェインマン図から生じる特定の関数の完全なε展開を計算するために、この手法を適用すること。
• 高次微分計算を簡略化するために、ポッホハマー記号の商の部分分数分解を導入・応用すること。

提案手法

• 一般化調和数および第一種スターリング数を用いて、ポッホハマー記号 (a)_{m} 及びその逆数のk階微分の一般式を導出する。
• (a)_{m} および 1/(b)_{m} の正規化されたk階微分を表す演算子 τ_{m}^{(k)}(a) および ρ_{m}^{(k)}(b) を導入する。
• 導出した微分を基盤として、ε = 0回りのテイラー展開を超幾何関数に適用する。
• ポッホハマー記号の商の部分分数分解を用いて、εに関する微分を容易にする。
• 生成関数および二項係数と一般化調和数を含む組合せ的恒等式を用いて、結果を簡潔な形で表現する。
• 既知の物理的図から得られるAppellおよびKampé de Fériet関数の完全なε展開を計算することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポッホハマー記号およびその逆数の高次導関数は、既知の特殊関数を用いて体系的にどのように表現できるか？
• RQ2 パラメータがεに関して線形であるAppell関数およびKampé de Fériet関数のε展開を計算する最も効率的な方法は何か？
• RQ3 ポッホハマー記号の商の部分分数分解は、多変数超幾何関数のε展開の導出を簡略化できるか？
• RQ4 一般化調和数およびスターリング数は、ε展開の解析的構造において果たす役割は何か？
• RQ5 提案手法を、1ループの五角形図および2ループのサンライズ図などの特定のフェインマン図の完全なε展開を計算するためにどのように応用できるか？

主な発見

• パラメータaに関するポッホハマー記号 (a)_{m} のk階微分は、τ_{m}^{(k)}(a) = ∑_{j=0}^{m-1} Σ_{k}(j) / (a+j)^k で与えられ、ここでΣ_{k}(j)は一般化調和数を含む。
• 逆ポッホハマー記号 1/(b)_{m} のk階微分は、ρ_{m}^{(k)}(b) = (-1)^k ∑_{j=0}^{m-1} Σ_{k}(j) / (b+j)^k で与えられ、同じΣ_{k}(j)係数を共有する。
• 本手法は、1ループ五角形図におけるAppell F1関数の完全なε展開を正しく計算でき、既知の結果と一致する。
• 2ループサンライズ図において、関連するKampé de Fériet関数のε展開を、εの任意の次数まで完全に得ることができる。
• (1+δ−ε)_{n1+n2}/[(1−ε)_{n1}(1+δ+ε)_{n2}] のような商の部分分数分解により、留数に類似した項を介して、ε展開の体系的導出が可能になる。
• 本手法は、数値的計算や級数の切り捨てによる制限を回避する、量子場の理論における超幾何関数のε展開を統一的かつ解析的に扱うフレームワークを提供する。