[論文レビュー] Equigeneric and equisingular families of curves on surfaces

Thomas Dedieu, Edoardo Sernesi|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、滑らかな複素代数的表面上の整関数曲線が、その幾何的 genus を保ったままノーダル曲線に変形可能かどうかを検討する。これは代数幾何学における等種族・等特異的族に関する中心的問題である。著者らは、デル・ペッツォおよびヒルツェブルク表面に対して肯定的に解決し、K3表面に対しても部分的に解決する。変形理論とモジュライ空間解析を用いて、多くの場合に等種族族の一般成員がノーダルであることを示した。

ABSTRACT

We investigate the following question: let $C$ be an integral curve contained in a smooth complex algebraic surface $X$; is it possible to deform $C$ in $X$ into a nodal curve while preserving its geometric genus? We affirmatively answer it in most cases when $X$ is a Del Pezzo or Hirzebruch surface, and in some cases when $X$ is a $K3$ surface. Partial results are given for all surfaces with numerically trivial canonical class. We also give various examples for which the answer is negative.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素代数的表面上の整関数曲線が、その幾何的 genus を保ったままノーダル曲線に変形可能かどうかを特定すること。
• 固定された幾何的 genus によって定義される等種族族の構造を理解し、ノーダル曲線のセバリー多様体との関係を明らかにすること。
• 変形空間における等特異的部分集合の期待される余次元と滑らかさを調査すること、特に、大域的変形空間から特異点の局所変形空間の直積への制限写像が滑らかでない場合の影響を含む。
• 数値的に自明な正則線分束を持つ表面において、等種族族の一般成員がノーダルまたは埋め込まれている条件を同定すること。
• 等種族族の一般成員がノーダルでない反例を特定し、過剰性や非還元的成分の存在を強調すること。

提案手法

• 変形理論を用いて、表面上の曲線族の局所的・大域的挙動を分析し、大域的変形空間から特異点の局所変形空間の直積への制限写像に注目する。
• ノード、カスプなどの特異点のエタール半普遍変形の概念を用い、等特異的部分集合とその余次元を研究する。
• 期待される余次元の公式を適用：曲線の幾何的 genus が $ g $ で算術的 genus が $ p_a( heta) $ のとき、等種族族 $ V^ heta_g $ の期待される余次元は $ p_a( heta) - g $ であり、ノーダルの場合にはノード数に等しい。
• 制限写像 $ r: W \to \bigprod_i B_i $ の滑らかさを分析する。ここで $ W $ はモジュライ空間内の $[C]$ の近傍である。これにより、等種族族が等特異的部分集合から良い幾何的性質を引き継ぐかどうかを評価する。
• アバレロッロ＝コルナーバ、ザリスキ、ハリス、ウォールらの既知の結果を活用し、特定の表面クラス（例えば $ \bb{P}^2 $、ヒルツェブルク、デル・ペッツォ、K3、エンリケス、アーベル表面）に対して肯定的な答えを得る。
• ヒルベルトスキーム解析と特異点を曲線に沿って持つ表面の一般射影を用いて反例を構成し、特定のセバリー型スキームにおける可約性や非還元的性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな複素代数的表面上の整関数曲線は、幾何的 genus を保ったままノーダル曲線に変形可能か？
• RQ2 表面の正則線分束が数値的に自明な場合、等種族族 $ V^ heta_g $ の一般成員がノーダルである条件は何か？
• RQ3 大域的変形空間から特異点の局所変形空間の直積への制限写像が滑らかでない場合、その原因と $ V^ heta_g $ の幾何に与える影響は何か？
• RQ4 どのような状況で等特異的族が期待される次元を持たず、セバリー型スキームに過剰性や非還元的成分が生じるか？
• RQ5 等種族族の一般成員がノーダルでない明示的な例を構成可能か？その場合、どのような種類の特異点が現れるか？

主な発見

• $ X = \bb{P}^2 $ の場合、$ n \geq 1 $ および $ 0 \leq g \leq p_a(nL) $ に対して、$ V^{nL}_g $ の任意の既約成分はノーダル曲線の稠密な開部分集合を含む。これはアバレロッロ＝コルナーバおよびザリスキによって確立された。
• ヒルツェブルク表面（次数 $ d $）では、$ 0 \leq g \leq p_a(L) $ に対して、$ V^L_g $ の任意の既約成分はノーダル曲線の稠密な開部分集合を含む。ハリスによる結果。
• デル・ペッツォ表面（次数 $ d $）では、$ V^{-nK_X}_g $ の任意の既約成分の一般成員はノーダルであるが、$ dn \leq 3 $ の場合を除く。例外は $ d = n = 1, g = 0 $ の場合に限る。
• 非常に一般の $ K3 $ 表面で $ L^2 = 2p - 2 $ のとき、$ p/2 < g \leq p $ に対して $ V^L_g $ の一般成員はノーダルである。$ kL $（$ k \geq 1 $）に対しては一般成員は埋め込まれており、正規化が非三角的であればノーダルである。
• エンリケス表面では、$ 3 \leq g \leq p_a(L) $ かつ正規化のクリフォード指数が $ \geq 5 $ の場合、$ V^L_g $ の一般成員はノーダルである。
• アーベル表面では、$ 2 < g \leq p_a(\xi) $ の場合、$ V^\xi_g $ の一般成員は埋め込まれており、正規化が非三角的であればノーダルである。反例として、$ V_{d,n,\kappa} $ が可約または非還元的である例が存在する。例えば $ V_{104,3636,900} $ は次元 174 の非還元的成分をもち、期待される次元 128 を上回る。