[論文レビュー] Equivalence of the local and global versions of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality

Eli Putterman|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Point processes and geometric inequalities参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^n$ 内の中心対称な凸体について、$L^p$-Brunn-Minkowski 不等式のグローバル版とローカル版の同値性を確立し、$p \in (0,1)$ の場合に予想されていたグローバル不等式がローカル版から導かれること、およびその逆も成り立つことを証明する。主な貢献は、次元 2 における $p=0$ のローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式の証明であり、これは強同型多面体の $L^p$-結合と球面調和関数解析を用いて、平面上の対数-Brunn-Minkowski 不等式の新たな証明をもたらす。

ABSTRACT

By studying $L^p$-combinations of strongly isomorphic polytopes, we prove the equivalence of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality conjectured by Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang to the local version of the inequality studied by Colesanti, Livshyts, and Marsiglietti and by Kolesnikov and Milman, settling a conjecture of the latter authors. In addition, we prove the local inequality in dimension $2$, yielding a new proof of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality in the plane.

研究の動機と目的

• 中心対称な凸体について、Kolesnikov と Milman が提起した予想である、ローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式がグローバル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式を含意することを解決すること。
• 次元 2 における $p=0$ のローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式を証明し、これにより平面上の対数-Brunn-Minkowski 不等式の新たな証明を提供すること。
• 強同型多面体の $L^p$-結合を通じて、グローバル $L^p$-Brunn-Minkowski 予想とローカル版の同値性を確立すること。
• 次元 2 における $p=0$ のローカル不等式が、球面上の積分不等式を用いて、グローバルな対数-Brunn-Minkowski 不等式を含意することを示すこと。

提案手法

• $L^p$-Minkowski 結合における体積の挙動を分析するために、強同型多面体の $L^p$-結合を用いる。
• 球面調和関数論を適用し、対数-Minkowski 結合に沿った体積汎関数の第二階微分を分析することで、問題を球面上の積分不等式に還元する。
• 体積汎関数 $f(\lambda) = \log \operatorname{vol}((1-\lambda)K_0 +_0 \lambda K_1)$ の第二変分を計算し、$p=0$ の場合に $f''(0) \leq 0$ を示す。
• $C^2_+$ 身体におけるローカル不等式が、ハウスドルフ距離における近似と連続性を介してグローバル不等式を含意することを示すことにより、ローカル不等式とグローバル不等式の同値性を確立する。
• 混合体積論および支持関数の性質を用いて、$V(zh_K[1], K[n-1])$、$V(zh_K[2], K[n-2])$、および $V(z^2 h_K[1], K[n-1])$ を含む不等式を導出し、操作する。
• 重要な技術的ステップとして、球面上の偶関数を $C^2_+$ 凸体の支持関数の差に分解することにより、不等式を滑らかでない対称凸体へと拡張可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心対称な凸体について、$ℝ^n$ 内でローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式はグローバル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式を含意するか？
• RQ2 次元 2 における $p=0$ のローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式は証明可能であり、これにより平面上の対数-Brunn-Minkowski 不等式の新たな証明が得られるか？
• RQ3 $(0,1)$ 内の $p$ について、ローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式とグローバル $L^p$-Brunn-Minkowski 予想は同値か？
• RQ4 強同型多面体の $L^p$-結合を通じて、ローカル版とグローバル版の同値性を確立できるか？
• RQ5 球面調和関数および混合体積論は、$p=0$ のローカル不等式の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• 次元 2 における $p=0$ のローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式が証明され、これは平面上のグローバルな対数-Brunn-Minkowski 不等式を含意する。
• $p \in (0,1)$ のすべての $p$ について、グローバル $L^p$-Brunn-Minkowski 予想とローカル版の同値性が確立され、Kolesnikov と Milman の予想が解決された。
• 証明により、$C^2_+$ 身体におけるローカル不等式が、ハウスドルフ距離における近似と連続性を介して、すべての中心対称凸体に対するグローバル不等式を含意することが示された。
• 対数-Minkowski 結合に沿った体積汎関数の第二微分を分析することにより、平面上の対数-Brunn-Minkowski 不等式の新たな証明が得られた。
• 関数の分解と混合体積の恒等式を用いて、ローカル不等式がグローバル不等式を含意すること、およびその逆も成り立つことを示し、ローカルとグローバル不等式の同値性を立証した。
• 結果として、次元 2 における $p=0$ のローカル $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式がグローバルな対数-Brunn-Minkowski 不等式と同値であることが確認された。証明は、球面調和関数から導かれる球面上の積分不等式に依拠している。