[論文レビュー] Equivalence of Weak Galerkin Methods and Virtual Element Methods for Elliptic Equations

Long Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、楕円型方程式に対する修正された弱ガレルキン法と仮想有限要素法の新しい定式化との間の同等性を確立し、両者の自由度が同一であることを示している。主な貢献は、理論的統合を実現することで、両手法間でのアイデアおよび技術の相互移転を可能にすることにある。

ABSTRACT

We propose a modification of the weak Galerkin methods and show its equivalence to a new version of virtual element methods. We also show the original weak Galerkin method is equivalent to the non-conforming virtual element method. As a consequence, ideas and techniques used for one method can be transferred to another. The key of the connection is the degree of freedoms.

研究の動機と目的

• 弱ガレルキン法と仮想有限要素法の間の理論的関係を確立すること。
• 仮想有限要素法の新しい定式化と整合するように修正された弱ガレルキン法を提案すること。
• 元来の弱ガレルキン法が非適合仮想有限要素法と同等であることを示すこと。
• 両者の数値的手法間での技術および洞察の移転を可能にすること。

提案手法

• 仮想有限要素法の構造に合わせて、変分定式化を再定義することで、修正された弱ガレルキン法を提案する。
• 仮想有限要素フレームワーク内の自由度と整合する新たな自由度の選択を導入する。
• 両手法が同一の自由度と変分定式化を持つことから、同等性を証明する。
• 局所射影と両手法と整合する安定化項の構築に依拠した解析を行う。
• 関数解析および有限要素理論を用いて、理論的同等性を確立する。
• 同一条件下で両手法が同一の離散解を生成することを示すことにより、関係性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正された弱ガレルキン法を、新しい仮想有限要素法の定式化と同等となるように構築できるか？
• RQ2 元来の弱ガレルキン法は非適合仮想有限要素法と同等か？
• RQ3 自由度は、これら二つの手法を統合する上で果たす役割は何か？
• RQ4 この同等性を通じて、一方の手法から他方の手法への技術の移転はどのように可能か？
• RQ5 この同等性は、数値解析および手法設計にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 修正された弱ガレルキン法は、新しい仮想有限要素法の定式化と数学的に同等である。
• 元来の弱ガレルキン法は、非適合仮想有限要素法と同等である。
• 共通の自由度が、両手法間の同等性を実現する中心的メカニズムである。
• 同等性のおかげで、両フレームワーク間での数値的手法および理論的洞察の直接的な移転が可能になる。
• 本研究の結果は、弱ガレルキン法および仮想有限要素法の両者を統合する理論的基盤を提供する。
• 進展した手法の知見をもう一方の手法に体系的に応用可能であることが示唆され、手法の発展が促進される。