[論文レビュー] Equivalent definitions of dyadic Muckenhoupt and Reverse Hölder classes in terms of Carleson sequences, weak classes, and comparability of dyadic $L\log L$ and $A_\infty$ constants

Oleksandra Beznosova, Alexander Reznikov|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2012

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ひとこと要約

本稿では、Carleson系列、弱クラス、Buckley型の和条件を用いて、二進Muckenhoupt（$A_\infty^d$）および逆Hölder（$RH_p^d$）クラスの同値な特徴づけを確立する。極限の$RH_1^d$クラスを導入し、Bellman関数技法を用いて$A_\infty^d$と$RH_1^d$定数の鋭い比較を証明し、Buckleyの不等式が$RH_1^d$重みを特徴づけること、および和定数が対応する$A_\infty^d$および$RH_1^d$定数と比較可能であることを示す。

ABSTRACT

In the dyadic case the union of the Reverse Hölder classes, $RH_p^d$ is strictly larger than the union of the Muckenhoupt classes $ A_p^d$. We introduce the $RH_1^d$ condition as a limiting case of the $RH_p^d$ inequalities as $p$ tends to 1 and show the sharp bound on $RH_1^d$ constant of the weight $w$ in terms of its $A_\infty^d$ constant. We also take a look at the summation conditions of the Buckley type for the dyadic Reverse Hölder and Muckenhoupt weights and deduce them from an intrinsic lemma which gives a summation representation of the bumped average of a weight. Our lemmata also allow us to obtain summation conditions for continuous Reverse Hölder and Muckenhoupt classes of weights and both continuous and dyadic weak Reverse Hölder classes. In particular, it shows that a weight belongs to the class $RH_1$ if and only if it satisfies Buckley's inequality. We also show that the constant in each summation inequality of Buckley's type is comparable to the corresponding Muckenhoupt or Reverse Hölder constant.

研究の動機と目的

• 二進Muckenhouptおよび逆Hölderクラスの同値定義を、Carleson系列および和条件を用いて確立すること。
• 極限の$RH_1^d$クラスを、$RH_p^d$の$p \to 1^+$極限として定義し、その分析を行うこと。
• 内在的補題およびBellman関数を用いて、$A_\infty^d$および$RH_1^d$定数の鋭い比較を証明すること。
• Buckley型の和条件が$RH_1^d$および$A_\infty^d$クラスと同値であり、定数が比較可能であることを示すこと。
• これらの結果を連続的および弱逆HölderおよびMuckenhouptクラスに拡張すること。

提案手法

• 二進重みにおける鋭い不等式の証明にBellman関数技法を用い、特にぶつぶつ平均およびCarleson系列を扱う。
• 重みのぶつぶつ平均を和条件で表す内在的補題（補題II.2および補題II.4）を導入する。
• 凸性および関数解析を用いて、$A_\infty^d$および$RH_1^d$定数を含む不等式のためのBellman関数を構築する。
• 二進区間上の平均の挙動を分析することで、連続的および二進重みのための和条件を導出する。
• Bellman関数領域上の頂点解析を用いて、Buckley型不等式の定数と対応する$A_\infty^d$および$RH_1^d$ノルムの定数の比較を証明する。
• 関数$g(\alpha) = \frac{1}{f^{-1}(\alpha)}$および恒等式$f(s) = \frac{1}{s} - \log \frac{1}{s} - 1$を用いて、Bellman関数枠組みにおける極値ケースを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進$RH_1^d$クラスは、Carleson系列および和条件を用いてどのように同値に特徴づけられるか？
• RQ2 $A_\infty^d$および$RH_1^d$定数の鋭い関係は何か？
• RQ3 Buckley型の和条件が$RH_1^d$および$A_\infty^d$重みと同値であり、定数が比較可能であるか？
• RQ4 Bellman関数法を内発的に応用して、一般の非負関数が二進区間上でぶつぶつ平均を和条件で表現できるか？
• RQ5 連続的および二進の弱逆HölderおよびMuckenhouptクラスの関係は何か？また、それらを特徴づける和条件は何か？

主な発見

• クラス$RH_1^d$は$\bigcup_{p>1} RH_p^d$を厳密に含み、$\|w\|_{RH_1^d} \lesssim \|w\|_{A_\infty^d}$という鋭い評価で特徴づけられ、定数は最適である。
• 重み$w$が$RH_1^d$に属するための必要十分条件は、Buckleyの不等式を満たすことである。これにより完全な同値性が確立される。
• Buckley型の和条件における定数は、対応する$A_\infty^d$および$RH_1^d$定数と比較可能であり、すべての重みおよび区間において一様な比較が成り立つ。
• 内在的補題（補題II.2および補題II.4）は、任意の非負関数$w$の二進区間上のぶつぶつ平均を和条件で表現する一般枠組みを提供する。
• 定理I.5の証明により、$A_\infty^d$および$RH_1^d$定数の鋭い比較が確立され、Bellman関数法を用いて定義域の境界上でのグローバル最小値の確認がなされた。
• 本稿では、連続的および二進の$A_\infty$および$RH_1$クラスの違いを示しており、二進の場合、$RH_1^d$は$\bigcup_{p>1} RH_p^d$を厳密に含むが、連続の場合にはそうではない。