[論文レビュー] Equivariant characteristic forms in the Cartan model and Borel equivariant cohomology

Andreas Kübel, Thom, Andreas|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリー群に対する微分幾何的および位相的構成の間の同値性を、カルタンモデルとボレルの等化コホモロジーを用いて確立する。曲率とモーメント写像によるチェーン＝ウイルの構成が、ボレル構成によって得られる同じクラスをもたらすことを証明し、既存の結果を一般化し、非コンパクトな設定への拡張を可能にする。

ABSTRACT

We show the compatibility of the differential geometric and the topological construction of equivariant characteristic classes for compact Lie groups. Our analysis motivates a differential geometric construction for equivariant characteristic classes in the non-compact case. This compatibility is generally assumed and used in various cases, but there is only a proof for compact connected Lie groups in the literature, see the work of Raoul Bott and Loring Tu. Our proof applies and generalizes ideas of Johan Dupont and Ezra Getzler.

研究の動機と目的

• 微分幾何的および位相的構成の間の厳密で自己完結的な比較を確立すること。
• 既知のコンパクトな連結リー群に対する適合性結果を、一般のコンパクトなリー群へ一般化すること。
• 曲率に基づくアプローチと分類空間に基づくアプローチの間の関係を明確にすることで、等化微分コホモロジーの基礎を提供すること。
• 既存の文献を超えて、特に非コンパクト群作用に対して拡張可能な、新しい一般化された証明を提供すること。

提案手法

• 等化ド・ラームコホモロジーのカルタンモデルを用いて、等化特徴類を閉じた等化微分形式として表現する。
• ボレル構成を適用し、ホモトピー商 $ M_G = EG \times_G M $ 上の主バンドルを関連させ、$ H^*_G(M) $ における位相的特徴類を得る。
• リー代数 $ K $ 上の不変対称多項式を用いた普遍的なチェーン＝ウイルの構成を適用し、等化曲率形式 $ R^\nabla + \mu^\nabla $ に評価する。
• デュポンの単体的形式とゲツラーの分解を用いて、単体的ド・ラーム複体とカルタンモデルの間の準同型を構成する。
• 明示的な微分形式および双単体的多様体上の接続を用いて、カルタンモデルと単体的ド・ラーム複体の間の標準的同型を確立する。
• 無限小作用を介して定義されるモーメント写像 $ \mu^\nabla $ が、カルタンモデルにおける特徴形式の等化性を保証することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群に対して、カルタンモデルによる微分幾何的構成とボレル構成による位相的構成が、等化特徴類において一致するか？
• RQ2 チェーン＝ウイル構成とボレル構成の適合性は、コンパクトで連結なリー群を超えて拡張可能か？
• RQ3 カルタンモデルにおいて、モーメント写像と曲率をどのように組み合わせて、適切に定義された等化特徴形式を定義できるか？
• RQ4 単体的ド・ラーム複体と準同型は、幾何的および位相的アプローチを結ぶ上で果たす役割は何か？
• RQ5 これらの手法は非コンパクトな場合に適応可能か？その場合に必要な構造的変更は何か？

主な発見

• 本稿は、カルタンモデルにおける曲率とモーメント写像によるチェーン＝ウイルの構成によって得られる等化特徴類が、ボレルコホモロジーにおけるボレル構成によって得られるクラスと一致することを証明する。
• 適合性は、連結でないコンパクトなリー群に対しても成り立つことが示され、ボットとトゥが連結群に限定して示した結果を一般化する。
• モーメント写像 $ \mu^\nabla $ が $ \mu^\nabla(X) = \nabla_{X^\sharp_M} + L^E_X $ を満たすことが示され、無限小作用と関連付けるベクトルバンドル上の接続が結びつけられる。
• 二つの接続間のトランスグレッション形式 $ \widetilde{\omega}(\nabla, \nabla') $ が、カルタンモデルにおける対応する形式と一致することが示され、変形のもとでの一貫性が保証される。
• 証明は、デュポンの単体的形式とゲツラーの分解を用いて構成された、単体的ド・ラーム複体とカルタンモデルの間の準同型に依存しており、明示的な計算が可能になる。
• 著者らは、既存の手法を一般化し、等化微分コホモロジーの体系的発展への道筋を示す、新しい自己完結的な解説を提供する。