[論文レビュー] Equivariant quantum cohomology and Yang-Baxter algebras

Vassily Gorbounov, Christian Korff|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

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ひとこと要約

本稿は、ペテルソンのアフィン nil-ヘッケ代数フレームワークと、ナカジマのクiver多様体から生じるヤン・バクスター可積分系の間の橋渡しを確立する。状態空間がグラスマン多様体の等置量子コホモロジーの直和である等置量子可積分格子モデルを構成し、ヤン・バクスター代数がこの空間に作用することを示し、可換なベーテ代数が等置量子コホモロジーに同型であることを明らかにした。これにより、シュール・ウェイドゥアルの双対性を通じて、背後にある量子群構造が解明される。

ABSTRACT

There are two intriguing statements regarding the quantum cohomology of partial flag varieties. The first one relates quantum cohomology to the affinisation of Lie algebras and the homology of the affine Grassmannian, the second one connects it with the geometry of quiver varieties. The connection with the affine Grassmannian was first discussed in unpublished work of Peterson and subsequently proved by Lam and Shimozono. The second development is based on recent works of Nekrasov, Shatashvili and of Maulik, Okounkov relating the quantum cohomology of Nakajima varieties with integrable systems and quantum groups. In this article we explore for the simplest case, the Grassmannian, the relation between the two approaches. We extend the definition of the integrable systems called vicious and osculating walkers to the equivariant setting and show that these models have simple expressions in a particular representation of the affine nil-Hecke ring. We compare this representation with the one introduced by Kostant and Kumar and later used by Peterson in his approach to Schubert calculus. We reveal an underlying quantum group structure in terms of Yang-Baxter algebras and relate them to Schur-Weyl duality. We also derive new combinatorial results for equivariant Gromov-Witten invariants such as an explicit determinant formula.

研究の動機と目的

• 量子コホモロジー分野における2つの主要な発展を統合すること：ペテルソンのアフィン nil-ヘッケ代数の手法と、ムアリク・オクウンコフ・ネクラーソフの可積分系フレームワーク。
• 新しいアフィン nil-ヘッケ代数の表現を用いて、悪戦・接触ウォークァー理論を等置設定に拡張すること。
• ヤン・バクスター代数内に存在する可換なベーテ代数が、グラスマン多様体の等置量子コホモロジーに同型であることを同定すること。
• 完成化された等置パラメータのテンソル積におけるイデムポテンスを用いて、シューベルト基底とペテルソン基底におけるアフィンヘッケ代数作用の関係を明確化すること。
• 等置グロモフ＝ウィッテン不変量の新しい組合せ論的公式、特に明示的な行列式公式を導出すること。

提案手法

• 状態空間が $\mathcal{V} = \bigoplus_{n=0}^N \mathcal{V}_n$ である量子可積分格子モデルを構築し、ここで $\mathcal{V}_n \cong QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N})$ である。
• ヤン・バクスター方程式の解を用いてヤン・バクスター代数を定義し、$\mathcal{V}$ 上に量子対称性として作用させる。
• ヤン・バクスター代数の可換部分代数（移行行列によって生成されるもの）を同定し、それが等置量子コホモロジー $QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N})$ に同型であることを示す。
• コスタント＝クマーよりも異なった新しいアフィン nil-ヘッケ代数の表現を用いて、$\mathcal{V}$ 上の作用を記述する。
• $\tilde{S}_\lambda$ がベーテベクトル $Y_\alpha$ に作用する様子を、GKM類 $\xi_\lambda(y_\alpha) = s_\lambda(y_\alpha|t)$ と関連づけ、シュール多項式と量子乗法の関係を明確にする。
• 写像 $|v\rangle = \sum_u \xi_v(u) \otimes Y_u$ を $\sigma_v$（シューベルト類）に送る写像を用いて、$\mathcal{V}_P \to QH_T^*(G/P)$ の同型を確立し、積を $|w\rangle \circledast |v\rangle = S_w |v\rangle$ で定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマン多様体の等置量子コホモロジーは、可積分系から生じるヤン・バクスター代数のモジュールとしてどのように実現可能か？
• RQ2 本稿で用いられるアフィン nil-ヘッケ代数の新しい表現と、シューベルト計算におけるコスタント＝クマーやペテルソンの表現との正確な関係は何か？
• RQ3 ヤン・バクスター代数内に存在する可換なベーテ代数を、明示的にグラスマン多様体の等置量子コホモロジーに同型とみなせるか？
• RQ4 等置パラメータのテンソル積 $QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N}) \otimes \mathbb{F}_q$ において、シューベルト基底とイデムポテンス基底におけるアフィンヘッケ代数作用の違いは何か？
• RQ5 量子コホモロジーと可積分系の相互作用から、行列式公式のような組合せ論的構造がどのように生じるか？

主な発見

• ヤン・バクスター代数は、直和 $\mathcal{V} = \bigoplus_n QH_T^*(\mathrm{Gr}_{n,N})$ 上に作用し、その可換部分代数（移行行列によって生成されるもの）は、各グラスマン多様体の等置量子コホモロジーに同型である。
• コスタント＝クマーやペテルソンの手法とは異なった新しいアフィン nil-ヘッケ代数の表現を構成し、量子コホモロジー作用を異なる方法で実現したが、依然として正しいシューベルト構造定数を得た。
• ベーテベクトル $Y_\alpha$ 上でのシュール多項式 $s_\lambda(y_\alpha|t)$ の作用は、GKM類 $\xi_\lambda(y_\alpha)$ による乗法に一致し、量子乗法と可積分系を結ぶ。
• 積 $|\lambda\rangle \circledast |\mu\rangle = \sum_\alpha s_\mu(y_\alpha|t) \cdot (\tilde{S}_\lambda Y_\alpha)$ が明示的に計算され、$\sum_\alpha (j_{\hat{w}^\lambda} s_\mu(y_\alpha|t)) Y_\alpha$ に等しいことが示され、ペテルソン基底と整合することが確認された。
• ヤン・バクスター代数と量子シュール多項式の相互作用を通じて、等置グロモフ＝ウィッテン不変量の新しい行列式公式が導出された。
• 写像 $|v\rangle \mapsto \sigma_v$ を用いて $\mathcal{V}_P \to QH_T^*(G/P)$ の同型が確立され、積が $S_w$ の作用によって定義されることにより、量子コホモロジーのための新しい代数的枠組みが提供された。