[論文レビュー] Equivariant Todd Classes for Toric Varieties

Jean-Luc Brylinski, Bin Zhang|ArXiv.org|Nov 18, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、完備トーリック多様体の等長的Todd類に対する明示的公式を、その組合せ的データ（ファン）を用いて、等長的リーマン・ロッホ定理と等長的コホモロジー・ホモロジーの計算を組み合わせることで確立する。主な貢献は、特異点の解消を用いて滑らかでない一般の完備トーリック多様体に対しても有効な、ファン上の区分的多項式関数で表される、等長的Todd類の閉形式表現である。

ABSTRACT

For a complete toric variety, we obtain an explicit formula for the localized equivariant Todd class in terms of the combinatorial data -- the fan. This is based on the equivariant Riemann-Roch theorem and the computation of the equivariant cohomology and equivariant homology of toric varieties.

研究の動機と目的

• 完備トーリック多様体の等長的Todd類を、その組合せ的ファンデータの観点から明示的に表現すること。
• 等長的チャウ群の代わりに等長的ホモロジーを用いることで、一般の完備トーリック多様体に対する等長的リーマン・ロッホ定理を拡張すること。
• 等長的コホモロジーおよびホモロジーを計算し、Todd類の公式の基盤を築くこと。
• ファンの分割による特異点の解消を用いて、一般の場合を滑らかな場合に還元すること。
• Todd類とファン上の区分的多項式関数との関係を、パワー写像および局所化技術を用いて確立すること。

提案手法

• 普遍バンドル $EG$ のTotaroによる近似を用いて、代数的近似の逆極限による等長的コホモロジーおよびホモロジーを定義する。
• Baum-Fulton-MacPhersonの枠組みにおいて、等長的リーマン・ロッホ定理を適用し、等長的ホモロジーをTodd類の終域として用いる。
• トーラスの作用とファンの構造を分析することで、トーリック多様体の等長的コホモロジーおよびホモロジーを計算する。
• パワー写像および局所化を用いて、等長的Todd類をコーンごとの和として表現し、区分的連続多項式関数を用いる。
• ファンの分割による特異点の解消を用いて、一般の場合を既に知られている滑らかな場合に還元する。
• 公式 $L^{-1}PD^{-1}( extstyleigsum S(A_σ)[\bar{O}_\sigma])$ を適用して、完成化された等長的ホモロジーにおける等長的Todd類を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備トーリック多様体の等長的Todd類は、どのようにそのファンデータの観点から明示的に表現できるか？
• RQ2 等長的ホモロジーを用いた一般のトーリック多様体に対する等長的リーマン・ロッホ定理の正しい定式化は何か？
• RQ3 パワー写像および局所化技術は、等長的Todd類の計算をどのように支援するか？
• RQ4 ファンの分割による特異点の解消は、滑らかな場合から一般のトーリック多様体への公式の拡張において、果たす役割は何か？
• RQ5 ファン上の区分的多項式関数は、完成化された等長的ホモロジーにおける等長的Todd類とどのように関係するか？

主な発見

• 滑らかなトーリック多様体の等長的Todd類は、各コーン $\sigma$ において $\prod_{i=1}^{p} \frac{v_i^*}{1 - e^{-v_i^*}}$ で与えられ、区分的多項式関数として解釈される。
• 一般の完備トーリック多様体に対しては、ファンの分割による特異点の解消と、滑らかなモデルからの押し出しを用いて、等長的Todd類が得られる。
• 公式 $L^{-1}PD^{-1}(\sum S(A_\sigma)[\bar{O}_\sigma])$ は、$L^{-1}\hat{H}^T_*(X)$ 内で等長的Todd類を生成し、$S(A_\sigma)$ は半群 $\bar{\sigma} \cap M$ の生成関数である。
• 任意のコーン $\sigma$ の分割に対して $\sum S(\mathbb{C}[\bar{\sigma}_i]) = S(\mathbb{C}[\bar{\sigma}])$ が成り立ち、Todd類の精錬における一貫性が保証される。
• 等長的Todd類は $\hat{H}^T_*(X)$ に属し、解消の押し出しによって示されるように、トーラスに沿った有理型同型写像に関して不変である。
• 本手法により、BrionおよびVergneの等長的リーマン・ロッホ結果が、単体的から一般の完備トーリック多様体へ、ホモロジーを用いて正しく一般化された。