[論文レビュー] Ergodic BSDEs driven by G-Brownian motion and their applications

Mingshang Hu, Falei Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、モデル不確実性下で、G・ブラウン運動に駆動される遍歴的後向き確率微分方程式（EBSDEs）を導入し、G期待値枠組みに特化した新しい線形化手法を用いてその適切性を確立する。G-EBSDEsの解の存在と一意性を証明し、楕円型PDEsに対する完全非線形Feynman-Kac公式を導出し、粘性解の一意性を示す新しい確率論的アプローチを提供することで、不確実な環境下での遍歴的制御および非線形PDEsの研究が可能になる。

ABSTRACT

The present paper considers a new kind of backward stochastic differential equations driven by G-Brownian motion, which is called ergodic G-BSDEs. Firstly, the well-posedness of G-BSDEs with infinite horizon is given by a new linearization method. Then, the Feynman-Kac formula for fully nonlinear elliptic partial differential equations is established. Moreover, a new probabilistic approach is introduced to prove the uniqueness of viscosity solution to elliptic PDEs in the whole space. Finally, we obtain the existence of solution to G-EBSDE and some applications are also stated.

研究の動機と目的

• G・ブラウン運動に駆動され、無限時間枠組みを持つ後向き確率微分方程式（BSDEs）の新規クラス、すなわちG-EBSDEsを構築し、モデル不確実性下での遍歴的問題をモデル化すること。
• G期待値フレームワークに特化した新しい線形化技術を用いて、無限時間枠組みにおけるG-BSDEsの解の存在と一意性を確立すること。
• G-EBSDEsと完全非線形楕円型PDEsの解を結びつける完全非線形Feynman-Kac公式を導出すること。
• R^nにおける完全非線形楕円型PDEsの粘性解の一意性を示す新しい確率論的手法を提示し、従来の手法を改善すること。
• G-EBSDEsを用いて、完全非線形PDEsの解の長時間挙動およびモデル不確実性下での最適遍歴的制御問題への応用を示すこと。

提案手法

• G期待値空間における従来手法の制限を克服するため、G-BSDEsの適切性を証明する新しい線形化手法を提案する。
• G-EBSDEsと完全非線形楕円型PDEsの解を結びつける非線形Feynman-Kac公式を確立する。形式は $ G(H(D_x^2 v, D_x v, \lambda, x)) + \langle b(x), D_x v \rangle + f(x, D_x v \sigma(x)) + \gamma^1 \lambda = 0 $ である。
• G-EBSDEフレームワークと収束議論を用いて、R^nにおける楕円型PDEsの粘性解の一意性を示す確率論的証明を導入する。
• G-BSDEの構造に、ドリフト項、拡散項、および2次変動項 $ \gamma^1 $ と $ \gamma^2 $ を含め、$ \gamma^1 + 2G(\gamma^2) < 0 $ を満たすことで、遍歴的ダイナミクスをモデル化する。
• G・マルティンゲールおよびG期待値の比較定理と収束結果を用いて、長時間挙動を分析する。
• 列 $ (t_m, x_m) \to (t,x) $ を含む極限的議論と $ \mathbb{\hat{E}}[\cdot] $ に関する推定値を用いて、価値関数の連続性および収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G・ブラウン運動に駆動される遍歴的BSDEsの新規クラスをモデル不確実性下で定式化し、その適切性を証明できるか？
• RQ2 提案されたG-EBSDEフレームワークは、楕円型PDEsに対する完全非線形Feynman-Kac公式を導くか？
• RQ3 G-EBSDEsを用いた新しい確率論的手法により、R^nにおける完全非線形楕円型PDEsの粘性解の一意性を確立できるか？
• RQ4 G-EBSDEsは、完全非線形PDEsの解の長時間挙動にどのような意味を持つのか？
• RQ5 G-EBSDEsは、モデル不確実性下での最適遍歴的制御問題に応用可能か？

主な発見

• 適切な条件下で、従来のアプローチの制限を克服する新しい線形化手法により、G-BSDEsの無限時間枠組みにおける適切性が保証される。
• G-EBSDEsの解の存在と一意性が確立され、解の四重組 $ (Y^x, Z^x, K^x, \lambda) $ はすべての $ 0 \leq s \leq T < \infty $ に対して方程式を満たす。
• 完全非線形Feynman-Kac公式が導出され、G-EBSDEの解が新規クラスの完全非線形楕円型PDEsの粘性解と結びつく。
• R^nにおける楕円型PDEsの粘性解の一意性を示す新しい確率論的手法が提示され、従来の結果を一般化・改善する。
• G-BSDEの解 $ \bar{u}(t,x) $ が有界かつ連続であることが示され、$ m \to \infty $ のとき $ \bar{u}^m(t_m,x_m) \to \bar{u}(t,x) $ の収束が証明される。
• 本手法は一般のHJB方程式に適用可能であり、モデル不確実性下での長時間漸近挙動および遍歴的制御の研究へと拡張可能である。