[論文レビュー] Ergodic theorems for laminations and foliations: recent results and perspectives

Viêt‐Anh Nguyên|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 91被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特異的で滑らかな複素解析的葉層構造および特異的かつ正則的ホロモルフィック分岐について、幾何的エルゴディック定理を確立し、葉に沿った測地線と熱拡散を用いたリャプノフ指数の新しい幾何的解釈を導入する。リャプノフ指数が、確率的測地線方向への平均拡張率の極限として現れることを証明し、ブラウン運動と熱拡散近似を用いて、ハイパボリックな葉上で、オセレデーツの乗法的エルゴディック定理を葉層構造へ拡張する。

ABSTRACT

This report discusses recent results as well as new perspectives in the ergodic theory for Riemann surface laminations, with an emphasis on singular holomorphic foliations by curves. The central notions of these developments are leafwise Poincar\\'e metric, directed positive harmonic currents, multiplicative cocycles and Lyapunov exponents. We deal with various ergodic theorems for such laminations: Random and Operator Ergodic Theorems, (Geometric) Birkhoff Ergodic Theorems, Oseledec Multiplicative Ergodic Theorem and Unique Ergodicity Theorems. Applications of these theorems are also given. In particular, we define and study the canonical Lyapunov exponents for a large family of singular holomorphic foliations on compact projective surfaces. Topological and algebro-geometric interpretations of these characteristic numbers are also treated. These results highlight the strong similarity as well as the fundamental differences between the ergodic theory of maps and that of Riemann surface laminations. Most of the results reported here are known. However, sufficient conditions for abstract heat diffusions to coincide with the leafwise heat diffusions (Subsection 5.2) are new ones.

研究の動機と目的

• 特異的を持つリーマン面の葉層構造へ、とりわけオスレデーツの乗法的エルゴディック定理とバーキホフ型の結果を拡張すること。
• ハイパボリックな葉における葉に沿った測地線とその拡張率を用いたリャプノフ指数の幾何的解釈を確立すること。
• 抽象的熱拡散と葉に沿った熱拡散の関係を明確にし、両者が一致するための十分条件を同定すること。
• コンパクトな複素射影的表面における特異的ホロモルフィック分岐に対する標準的リャプノフ指数を定義し、分析すること。
• 曲率密度と正規バンドルの幾何学を用いた、リャプノフ指数のコhomologicalおよび幾何学的公式を提供すること。

提案手法

• ハイパボリックな葉上のホロノミー・コサイクルに、オスレデーツの乗法的エルゴディック定理を適用し、葉層上のコサイクルに応用する。
• リーマンの幾何学的バーキホフ定理の証明に由来する新しい幾何的推定式を用い、熱拡散プロセスと測地線拡張率の関係を確立する。
• 特にリヨンズとクランストンによる定量的推定式を応用し、ブラウン運動の境界挙動と測地線のシャドーイングを用いた確率的解析の結果を適用する。
• 正の $dd^c$-閉コホモロジー的カレントと接続カレントの理論を用い、葉層上の質量分布と調和測度を分析する。
• リーダプリエ型のリャプノフスペクトルの特徴づけを、葉層構造へ適応し、熱流によるリャプノフ指数の近似を可能にする。
• 方向付き正の調和的カレントおよび葉に沿ったポincare計量の理論を用い、特異的分岐におけるエルゴディシティおよび一意的エルゴディシティを定義し、研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的葉層構造上において、抽象的熱拡散と葉に沿った熱拡散が一致する条件は何か？
• RQ2 ハイパボリックな葉層構造において、オスレデーツの乗法的エルゴディック定理を測地線を用いた幾何的解釈で可能か？
• RQ3 コンパクト複素表面における特異的ホロモルフィック分岐のリャプノフ指数のコhomological公式は何か？
• RQ4 分岐構造において、リャプノフ指数は曲率密度と正規バンドルの幾何学とどのように関係するか？
• RQ5 特異的ホロモルフィック分岐の正則部分集合全体において、リャプノフ指数の幾何的エルゴディック定理は有効か？

主な発見

• コンパクトで滑らかなハイパボリックな葉層構造のリャプノフ指数は、葉上の確率的測地線の平均対数的拡張率のほとんど確実な極限として実現される。
• 全測度の葉に沿った飽和ボレル集合 $ Y $ の各点 $ x $ に対して、最大のリャプノフ指数 $ \chi_1 $ は、ほとんどすべての方向 $ \theta \in [0,1) $ における拡張率の極限として得られ、初期ベクトルに一様に依存しない。
• オスレデーツの分解が幾何的に実現される：各リャプノフ指数 $ \chi_i $ は、$ i $-番目の部分空間 $ H_i(x) $ における拡張率の極限に一致し、$ \chi_1 > \chi_2 > \cdots > \chi_m $ を満たす。
• 熱拡散に関する新しい幾何的推定式が証明され、リャプノフ指数を測地線拡張率により近似可能であり、これが主エルゴディック定理の確立に不可欠である。
• 正規バンドルの曲率密度を用いたコhomological公式が導出され、力学的不変量と代数的幾何的データを結びつける。
• 抽象的拡散と葉に沿った拡散が一致するための十分条件を提供し、これは葉層拡散理論における画期的な結果である。