[論文レビュー] Erratum to: "A Proof of Tsygan's Formality Conjecture for an Arbitrary Smooth Manifold"

Vasiliy Dolgushev|ArXiv.org|Mar 4, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、Dolgushevの2007年のTsyganの形式的予想の証明における補題1の欠陥を是正し、$L_\infty$-準同型のMaurer-Cartan要素による解釈を用いて、DG余代数のモデルカテゴリー構造に基づく新しい証明を与える。是正により、元の結果、特に定理6もすべて保持される。

ABSTRACT

Boris Shoikhet noticed that the proof of lemma 1 in section 2.3 of math.QA/0504420 contains an error. In this note I give a correct proof of this lemma which was suggested to me by Dmitry Tamarkin. The correction does not change the results of math.QA/0504420.

研究の動機と目的

• Dolgushevの2007年のTsyganの形式的予想の証明における第2.3節の補題1の誤りを是正すること。
• Maurer-Cartan要素による$L_\infty$-準同型の解釈を用いて、補題1の厳密な証明を提供すること。
• モデルカテゴリー理論と整合するように、$L_\infty$-準同型間のホモトピーを再定義すること。
• 是正にもかかわらず、元の論文の定理6その他の結果の有効性を保証すること。
• DG余代数のモデルカテゴリー構造を用いて、$L_\infty$-準同型間のホモトピーのモデルカテゴリー的解釈を確立すること。

提案手法

• $L_\infty$-準同型を、ホモロジー複体から構成された補助$L_\infty$-代数におけるMaurer-Cartan要素として再解釈する。
• スuspension $s$ とシュール関手 $F_{{\Lambda}{\bf cocomm}}$ を用いて、$L_\infty$-代数 ${\cal L}$ に対して余代数 $C({\cal L})$ を定義する。
• 下部中心フィルトレーションとプロニレポテンスを適用して、無限大Maurer-Cartan級数の収束を保証する。
• 多項式de Rham代数 $\Omega^\bullet(\mathbb{R})$ を用いたパス対象構成により、$L_\infty$-準同型間のホモトピーを定義する。
• 右ホモトピーをモデル化する非常に良いパス対象 $C^+({\cal L}^\diamond)^I = C^+({\cal L}^\diamond \otimes \Omega^\bullet(\mathbb{R}))$ を構成する。
• ホモトピーのデータを、$s\,{\rm Hom}(C({\cal L}), {\cal L}^\diamond \otimes \Omega^\bullet(\mathbb{R}))$ 内のMaurer-Cartan要素 $h = h^0 + h^1 dt$ に翻訳し、式 (5.7) と (5.8) を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dolgushevの2007年の論文の第2.3節における補題1の正しい証明は何か？ ただし、元の証明には誤りが含まれている。
• RQ2 $L_\infty$-準同型は、補助$L_\infty$-代数におけるMaurer-Cartan要素としてどのように正しく解釈できるか？
• RQ3 モデルカテゴリー理論と整合するように、$L_\infty$-準同型間のホモトピーの正しい定義は何か？
• RQ4 是正された証明が、元の論文の定理6およびその他の結果の有効性をどのように保証するか？
• RQ5 DG余代数のモデルカテゴリー構造を用いて、$L_\infty$-準同型間のホモトピーを特徴づけられるか？

主な発見

• 元の論文の補題1の誤りは、Dmitry Tamarkinが提案したMaurer-Cartan解釈に基づく証明を用いて是正された。
• 是正された証明により、二つの$L_\infty$-準同型がホモトピックであるための必要十分条件は、それらの拡張 $F^+$ と $\hat{F}^+$ がユニタルDG余代数のモデルカテゴリーにおいてホモトピックであることであると示された。
• ホモトピーは、$C^+(p_0) \circ H^+ = F^+$ および $C^+(p_1) \circ H^+ = \hat{F}^+$ を満たす、$H^+: C^+({\cal L}) \to C^+({\cal L}^\diamond \otimes \Omega^\bullet(\mathbb{R}))$ なる準同型として実現される。
• ホモトピーを符号化するMaurer-Cartan要素 $h$ は、$h = h^0 + h^1 dt$ に分解され、$h^0$ はMaurer-Cartan方程式を満たし、$h^1$ は変形の時間微分を符号化する。
• パス対象 $C^+({\cal L}^\diamond \otimes \Omega^\bullet(\mathbb{R}))$ は非常に良いパス対象であり、ホモトピーがモデルカテゴリーの意味で適切に振る舞うことを保証する。
• 修正された証明の正しさとホモトピー定義の安定性のおかげで、元の論文のすべての結果、特に定理6も有効である。