[論文レビュー] Eulerian series, zeta functions and the arithmetic of partitions

Robert Schneider|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2020

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ひとこと要約

本稿は、分割理論的ゼータ関数とqブラケット作用素を導入することで、整数分割の乗法的算術を確立し、q級数、モジュラー形式、および古典的数論の間の深い関係を明らかにする。q級数を用いて算術的密度の明示的公式を導出し、ラマヌジャンのモック・トゥータ関数が逆ヤコビ三重積のqブラケットから生じることを証明し、単位根におけるq超幾何関数の円分的類似恒等式を解明する。

ABSTRACT

In this Ph.D. dissertation (2018, Emory University) we prove theorems at the intersection of the additive and multiplicative branches of number theory, bringing together ideas from partition theory, $q$-series, algebra, modular forms and analytic number theory. We present a natural multiplicative theory of integer partitions (which are usually considered in terms of addition), and explore new classes of partition-theoretic zeta functions and Dirichlet series -- as well as "Eulerian" $q$-hypergeometric series -- enjoying many interesting relations. We find a number of theorems of classical number theory and analysis arise as particular cases of extremely general combinatorial structure laws. Among our applications, we prove explicit formulas for the coefficients of the $q$-bracket of Bloch-Okounkov, a partition-theoretic operator from statistical physics related to quasi-modular forms; we prove partition formulas for arithmetic densities of certain subsets of the integers, giving $q$-series formulas to evaluate the Riemann zeta function; we study $q$-hypergeometric series related to quantum modular forms and the "strange" function of Kontsevich; and we show how Ramanujan's odd-order mock theta functions (and, more generally, the universal mock theta function $g_3$ of Gordon-McIntosh) arise from the reciprocal of the Jacobi triple product via the $q$-bracket operator, connecting also to unimodal sequences in combinatorics and quantum modular-like phenomena.

研究の動機と目的

• 整数分割の乗法的算術を、従来の加法的組合せ論の枠組みから拡張して体系的に構築すること。
• 古典的ゼータ関数を一般化する分割理論的ゼータ関数およびディリクレ級数の導入。
• 分割理論的構成を通じて、qブラケット作用素が準モジュラー形式およびモック・トゥータ関数とどのように関係するかを明らかにすること。
• 整数部分集合の算術的密度のq級数による公式を導出し、リーマンゼータ関数の値の評価を含むこと。
• qハイパージェオメトリック関数が単位根において示す量子モジュラー的現象および円分的恒等式を調査すること。

提案手法

• 生成関数のqブラケット作用素を用いて、分割の生成関数をモジュラー型対象へ写像する。
• モビウス反転を用いて、分割理論的算術の文脈における組合せ的恒等式を導出する。
• q二項定理および生成関数技法を用いて、分割密度を分析する。
• 特にコンツェビッチの「奇妙な関数」と関連する関数 $ f(q) $ について、qハイパージェオメトリック級数の単位根における特別な値を分析する。
• イッヒラー積分理論および円分多項式の性質を用いて、単位根における代数的構造を研究する。
• ヤコビ三重積の逆数を基礎的対象とし、qブラケットを用いて変換することで、モック・トゥータ関数を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q級数およびゼータ関数を用いて、整数分割の乗法的算術を体系的にどのように発展させることができるか？
• RQ2 qブラケット作用素は、分割の生成関数からモジュラー形式およびモック・モジュラー形式を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 整数部分集合の算術的密度はq級数で表現可能であり、それらがリーマンゼータ関数の値の評価をもたらすか？
• RQ4 f(q) などのqハイパージェオメトリック関数が単位根において、どのような円分的または代数的恒等式が成立するか？
• RQ5 ラマヌジャンの奇数位のモック・トゥータ関数は、ヤコビ三重積の逆数がqブラケット作用素を経由してどのように生成されるか？

主な発見

• ヤコビ三重積の逆数のqブラケットは、ラマヌジャンの普遍的モック・トゥータ関数 $ g_3 $ を生成し、分割論とモック・モジュラー形式を結ぶ。
• 特定の整数部分集合の算術的密度について、q級数による明示的公式が導出され、正の整数におけるリーマンゼータ関数の値の評価を含む。
• 第5単位根において、$ \widetilde{f}(\zeta_5^i) $ の値は対称的かつ乗法的恒等式を満たし、たとえば $ \widetilde{f}(\zeta_5)\widetilde{f}(\zeta_5^2)\widetilde{f}(\zeta_5^3)\widetilde{f}(\zeta_5^4) = 1 $ が成り立つ。これはより深い円分的構造を示唆する。
• $ i \neq j $ についてのペア $ \widetilde{f}(\zeta_5^i)\widetilde{f}(\zeta_5^j) $ が単位根に等しいことが示され、たとえば $ \widetilde{f}(\zeta_5)\widetilde{f}(\zeta_5^3) = \zeta_5 $ となる。これは隠れた代数的対称性を示している。
• コンツェビッチの「奇妙な関数」と関連する関数 $ f(q) $ は、$ \zeta_5^i f(\zeta_5^i) = \zeta_5^{-i} f(\zeta_5^{-i}) $ を満たし、第5単位根における対称的関数方程式を満たす。
• 数値的証拠により、$ \gcd(p,i)=1 $ についての $ \widetilde{f}(\zeta_p^i) $ の初等対称和が法 $ p $ で整数となり、値が法 $ p $ で巡回的であることが示唆されるが、これは未だ未解決のままである。