[論文レビュー] Evaluable Jones-Wenzl idempotents at root of unity and modular representation on the center of U_qsl(2)

Elsa Ibanez|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、4p乗根の単位根におけるTemperley-Lieb代数において、評価可能なJones-Wenzl射影子を導入し、2p乗根の単位根における制限付き量子群U_qsl(2)の有限次元単純および射影的非分解表現を記述する標準的射影子の一般化を行う。これらの射影子は、カラーリングされた skein 加群における正規基底を提供し、負のねじれ作用とバッキング作用の部分的な一致をSL(2,Z)表現と結びつける。これは、RT91表現を非自明に拡張する。

ABSTRACT

Let p an integer. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley - Lieb algebras at 4p-th roots of unity which generalize the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group Uqsl(2), where q is a 2p-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of SL2(Z) on the center of Uqsl(2), which extends non trivially the [RT91] representation of SL2(Z).

研究の動機と目的

• 4p乗根の単位根におけるTemperley-Lieb代数における標準的Jones-Wenzl射影子を、2p乗根の単位根におけるU_qsl(2)表現へ一般化すること。
• これらの一般化された射影子を用いて、カラーリングされた skein 加群における正規基底を構成し、トポロジカル量子場理論への応用を図ること。
• トーラスの場合における負のねじれ作用とバッキング作用と、U_qsl(2)中心におけるSL(2,Z)表現との部分的な一致を確立すること。
• RT91表現を非自明に拡張すること。

提案手法

• 4p乗根の単位根におけるTemperley-Lieb代数に、射影子とべき零元の族を定義し、標準的Jones-Wenzl射影子を一般化する。
• qが2p乗根の単位根であるとき、これらの射影子を制限付き量子群U_qsl(2)の有限次元単純および射影的非分解表現と関連付ける。
• これらの射影子を用いて、特にトーラスの場合において、曲面のカラーリングされた skein 加群における正規基底を構成する。
• これらの射影子を通じて、写像類群のskein 加群への作用を分析し、特に負のねじれおよびバッキング操作に注目する。
• U_qsl(2)中心への誘導された作用を、[LM94]で定義されたSL(2,Z)表現と比較し、[RT91]の表現を非自明に拡張することを示す。
• トポロジカル量子場理論（TQFT）の技法を、[BHMV95]のスタイルに従って適用し、skein 加群と射影子基底を用いて表現を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4p乗根の単位根におけるTemperley-Lieb代数において、標準的Jones-Wenzl射影子をどのように一般化すれば、2p乗根の単位根におけるU_qsl(2)表現を捉えることができるか？
• RQ2 これらの一般化された射影子は、曲面のカラーリングされたskein加群の正規基底を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 トーラスにおける負のねじれ作用とバッキング作用は、U_qsl(2)中心におけるSL(2,Z)表現とどのように関係するか？
• RQ4 U_qsl(2)中心への誘導された表現が、どのようにRT91表現を非自明に拡張するか？
• RQ5 一般化された射影子は、単位根におけるU_qsl(2)に対して一貫したTQFTフレームワークを提供できるか？

主な発見

• 論文は、4p乗根の単位根におけるTemperley-Lieb代数において、評価可能なJones-Wenzl射影子の族を構成し、標準的Jones-Wenzl射影子を一般化した。
• これらの射影子は、qが2p乗根の単位根であるとき、制限付き量子群U_qsl(2)の有限次元単純および射影的非分解表現に正確に対応する。
• これらの射影子はカラーリングされたskein加群において正規基底を形成し、TQFT技法を用いた写像類群表現の定義を可能にする。
• トーラスの場合、負のねじれおよびバッキング操作の作用は、[LM94]で定義されたU_qsl(2)中心におけるSL(2,Z)表現と一致する。
• この構成により、U_qsl(2)中心におけるSL(2,Z)のRT91表現が非自明に拡張され、より洗練されたモジュラー表現構造が得られる。
• このフレームワークは、[BHMV95]の精神に則ったTQFT風の構成を実現し、skein加群と射影子基底を用いて、トポロジカルデータから表現を定義する。