[論文レビュー] Evaluation of Lyapunov exponent in generalized linear dynamical models of queueing networks

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

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ひとこと要約

本稿では、キューイングネットワークから導出された一般化線形確率的力学系に対して、idempotent代数を用いてLyapunov指数を評価する、新しい分解に基づく手法を提案する。行列の構造的成分への分解により、並列キュー、フォーク・ジョイン系、ラウンドロビンルーティングネットワークを含む多様なネットワークタイプにおいて、スループット解析の鍵たる平均サービスサイクル時間の正確な計算が可能になる。

ABSTRACT

The problem of evaluation of Lyapunov exponent in queueing network analysis is considered based on models and methods of idempotent algebra. General existence conditions for Lyapunov exponent to exist in generalized linear stochastic dynamic systems are given, and examples of evaluation of the exponent for systems with matrices of particular types are presented. A method which allow one to get the exponent is proposed based on some appropriate decomposition of the system matrix. A general approach to modeling of a wide class of queueing networks is taken to provide for models in the form of stochastic dynamic systems. It is shown how to find the mean service cycle time for the networks through the evaluation of Lyapunov exponent for their associated dynamic systems. As an illustration, the mean service time is evaluated for some systems including open and closed tandem queues with finite and infinite buffers, fork-join networks, and systems with round-robin routing.

研究の動機と目的

• 一般化線形確率的力学系におけるLyapunov指数の一般存在条件をidempotent代数を用いて確立すること。
• 独立同分布の遷移行列を有する系におけるLyapunov指数を評価する体系的な手法を開発すること。
• オープンおよびクローズドのトランジットキュー、フォーク・ジョインネットワーク、ラウンドロビンシステムを含む広範なキューイングネットワーククラスを分析すること。
• さまざまなネットワーク構成における期待サービス時間の関数として、平均サービスサイクル時間の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 状態の進化を表す行列乗算を用い、(max, +)半体におけるidempotent代数を用いてキューイングネットワークのダイナミクスをモデル化する。
• 行列分解技術を導入：$ A(k) = B(k)C(k) $ により、複雑な系をLyapunov指数の解が既知の単純な形に還元する。
• 定理5を三角行列に適用し、$ C(k)B(k+1) $ の対角成分の期待値の最大値としてLyapunov指数を直接計算可能にする。
• エルゴード定理を用いて、平均遷移行列のスペクトル半径にやや緩い条件を課すことにより、Lyapunov指数の存在を正当化する。
• キューイングネットワークモデルを確率的力学系に変換し、Lyapunov指数が平均サービスサイクル時間に対応することを示す。
• 分解された系において、$ ho = ext{tr}( ext{E}[C(1)B(1)]) $ を計算することで、$ ho $、すなわちLyapunov指数の解析的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化線形確率的力学系が(max, +)代数においてLyapunov指数を有する一般的な条件は何か？
• RQ2 閉形式解が得られない場合に、独立同分布の遷移行列を有する系におけるLyapunov指数をどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 有限および無限バッファを有するオープンおよびクローズドのトランジットキューにおける平均サービスサイクル時間は何か？
• RQ4 フォーク・ジョインおよびラウンドロビンルーティングネットワークにおいて、Lyapunov指数はシステムスループットとどのように関係するか？
• RQ5 行列分解技術を用いて、Lyapunov指数の評価に適した形に複雑なキューイングネットワークモデルを簡略化できるか？

主な発見

• 独立同分布のランダム行列を有する系では、平均遷移行列のスペクトル半径に関連する条件下でLyapunov指数 $ ho $ が存在する。
• 無限バッファを有するクローズドトランジットキューでは、システム行列の分解に基づき、平均サービスサイクル時間は $ ho = ext{E}[ au_{11}] + ext{E}[ au_{21}] $ となる。
• l=2 のフォーク・ジョインネットワークでは、並列処理構造を反映し、平均サービスサイクル時間は $ ho = ext{E}[ au_{11}] + ext{E}[ au_{21}] $ となる。
• l=2 のラウンドロビンルーティングを有する系では、平均サービスサイクル時間は $ ho = ext{E}[ au_{11}] igvee ext{E}[ au_{21}] igvee (2 ext{E}[ au_{01}]) $ となる。ここで $ igvee $ は最大値を表す。
• 三角行列およびランク1行列に対しては、トレース式 $ ho = ext{tr}( ext{E}[C(1)B(1)]) $ を活用することで、$ ho $ の計算が成功裏に実行可能である。
• Lyapunov指数の逆数がシステムスループットを表し、キューイングネットワーク解析における主要なパフォーマンス指標としてその役割を確認した。