[論文レビュー] Evaluation of the ADM mass and center of mass via the Ricci tensor

Pengzi Miao, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、密度定理を用いない直接的証明により、漸近的に平坦な多様体におけるADM質量および重心が、リッチテンソルとスカラー曲率を用いた内在的定義と等価であることを示している。計量の漸近的減衰条件を用いて、標準的なADM質量と曲率に基づく質量の等価性、およびハミルトニアン形式の重心と内在的重心定義の等価性を、明示的な積分恒等式と曲率項の漸近的解析を通じて確立している。

ABSTRACT

We prove directly without using a density theorem that (i) the ADM mass defined in the usual way on an asymptotically flat manifold is equal to the mass defined intrinsically using Ricci tensor; (ii) the Hamiltonian formulation of center of mass and the center of mass defined intrinsically using Ricci tensor are the same.

研究の動機と目的

• 密度定理に依存せずに、ADM質量とリッチテンソルを用いた内在的質量定義との等価性を確立すること。
• ハミルトニアン形式の重心とリッチテンソルを用いた内在的重心定義との等価性を証明すること。
• 曲率と計量の減衰条件を用いて、質量および重心の直接的な解析的導出を提供すること。
• これらの量が漸近的に平坦な時空において適切に定義されかつ有限であるための条件を明確にすること。

提案手法

• 大半の球面上での計量の一次微分の発散を含む標準的な積分公式を用いてADM質量を導出する。
• コンフォーマルキリングベクトル場 $X = x^i \partial_i$ を用いて、内在的質量をリッチテンソルとスカラー曲率で表現する。
• 計量およびその微分の漸近展開を、減衰条件 $g_{ij} - \delta_{ij} = o_2(|x|^{-(n-2)/2})$ の下で適用する。
• 部分積分と曲率の恒等式を用いて、ADM質量と内在的質量の積分を関係付ける。
• 各空間的方向に対して、コンフォーマルキリングベクトル場 $Y_{(\alpha)} = (|x|^2 \delta^{\alpha i} - 2x^\alpha x^i) \partial_i$ を導入し、重心を解析する。
• 被積分関数を比較することで、ハミルトニアン形式と内在的重心の積分が漸近的に等価であることを確立し、その差が無限遠で消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量のどの減衰条件下で、ADM質量がリッチテンソルを用いた内在的質量と等しくなるか？
• RQ2 密度定理を用いない漸近的に平坦な多様体において、ハミルトニアン形式と内在的重心定義は等価か？
• RQ3 レッジ＝タイベルボイム条件は、重心定義の有限性と等価性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 曲率項と計量の微分が、漸近的極限においてどのように作用して質量および重心を生成するか？
• RQ5 ADM質量と大半の球面上でのリッチテンソルの積分との正確な関係は何か？

主な発見

• 減衰条件 $g_{ij} - \delta_{ij} = o_2(|x|^{-(n-2)/2})$ の下で、ADM質量 $\mathfrak{m}$ とリッチテンソルを用いた内在的質量 $\mathfrak{m}_I$ は等しく、すなわち $\lim_{r\to\infty} (\mathfrak{m}(r) - \mathfrak{m}_I(r)) = 0$ が成り立つ。
• レッジ＝タイベルボイム条件 $g_{ij}^{\rm odd} = o_2(|x|^{-n/2})$ が成り立つ限り、ハミルトニアン重心 $\mathbf{c}_{\rm CS}$ と内在的重心 $\mathbf{c}_I$ は等価である。すなわち $\lim_{r\to\infty} (\mathbf{c}_{\rm CS}(r) - \mathbf{c}_I(r)) = 0$ が成り立つ。
• 密度定理や近似論的議論を避けて、曲率項および計量微分項の直接的漸近的解析によって、等価性が確立されている。
• 証明は、計量の2階微分項のキャンセルにより、ADM質量と内在的質量の積分の差が無限遠で消えることを示している。
• 重心に関しては、ハミルトニアン形式と内在的定義の被積分関数の差が、与えられた減衰仮定の下で0に収束することを示すことが鍵となる。
• 結果として、曲率に基づく質量および重心の定義が、自然な漸近的減衰条件下で、標準的なADMおよびハミルトニアン形式と整合することが確認された。