[論文レビュー] Exact Large Deviation Functional of a Stationary Open Driven Diffusive System: The Asymmetric Exclusion Process

Bernard Derrida, Joel L. Lebowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2002

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、両端に粒子バスケットを有する定常状態のオープンな系における非対称排除過程（ASEP）の正確な大偏差関数（LDF）を導出する。正確な微視的ダイナミクスと変分原理を用いて、LDFが特定のパrameter領域において非局所的かつ非凸的であることを示し、非ガウス型のフラクチュエーションと相転移を引き起こす。これは、対称系に対する以前の結果を、ショックやLDFの2階微分における不連続性を示す駆動された非平衡系へと一般化したものである。

ABSTRACT

We consider the asymmetric exclusion process (ASEP) in one dimension on sites $i = 1,..., N$, in contact at sites $i=1$ and $i=N$ with infinite particle reservoirs at densities $ρ_a$ and $ρ_b$. As $ρ_a$ and $ρ_b$ are varied, the typical macroscopic steady state density profile $\bar ρ(x)$, $x\in[a,b]$, obtained in the limit $N=L(b-a) o\infty$, exhibits shocks and phase transitions. Here we derive an exact asymptotic expression for the probability of observing an arbitrary macroscopic profile $ρ(x)$: $P_N(\{ρ(x)\})\sim\exp[-L{\cal F}_{[a,b]}(\{ρ(x)\});ρ_a,ρ_b]$, so that ${\cal F}$ is the large deviation functional, a quantity similar to the free energy of equilibrium systems. We find, as in the symmetric, purely diffusive case $q=1$ (treated in an earlier work), that $\cal F$ is in general a non-local functional of $ρ(x)$. Unlike the symmetric case, however, the asymmetric case exhibits ranges of the parameters for which ${\cal F}(\{ρ(x)\})$ is not convex and others for which ${\cal F}(\{ρ(x)\})$ has discontinuities in its second derivatives at $ρ(x) = \barρ(x)$; the fluctuations near $\barρ(x)$ are then non-Gaussian and cannot be calculated from the large deviation function.

研究の動機と目的

• 両端に粒子バスケットを有する定常状態のオープンな系における非対称排除過程（ASEP）の正確な大偏差関数（LDF）を導出すること。
• 非平衡定常状態（SNS）における極端なゆらぎの統計力学を理解すること、特に非ガウス型フラクチュエーションと相転移の出現を明らかにすること。
• 対称排除過程に関する以前の結果を非対称系に一般化し、LDFの2階微分における非凸性や不連続性といった新たな特徴を明らかにすること。

提案手法

• 著者らはASEPの正確な微視的遷移率を用いて、定常状態における密度分布 ρ(x) を観測する確率を計算する。
• LDF F[a,b]({ρ(x)}; ρa, ρb) を lim_{L→∞} log(PN)/L の極限として導出する。ここで PN は L(b−a) 個のサイト上で密度分布 ρ(x) を観測する確率である。
• 補助関数 F(x) に関する上界を求めるために変分原理を適用し、(1−ρ(y))dy の積分の凹包を用いて最適化関数 Fρ(x) を構成する。
• 関数 F はボリューム項のエントロピーと、最適化された Fρ と凹包 Gρ を含む非局所補正項の和として表現され、境界密度 ρa と ρb に制約が課される。
• この手法は、ASEPにおける行列積アンザッツと正確な解法技術に依拠しており、典型的な挙動を超えた大偏差確率を計算するために拡張されている。
• 凹包構成と Fρ(x) の最適性については、部分積分と凸性の議論を用いて厳密に正当化されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称排除過程（ASEP）のLDFは、対称系のそれと比較して、凸性と非局所性の観点でどのように異なるか？
• RQ2 LDFの2階微分に不連続性が生じる条件は何か？ その場合、フラクチュエーションが非ガウス的になるのはなぜか？
• RQ3 通常の密度分布におけるショックや相転移は、オープンで駆動された拡散系におけるLDFの構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ASEPのLDFは微視的ダイナミクスから正確に導出可能か？ また、そのLDFはバスケット密度 ρa と ρb にどのように依存するか？
• RQ5 統合密度分布の凹包は、最適フラクチュエーション分布を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• ASEPのLDF F は、特定のパrameter領域において非局所的かつ非凸的であり、ガウス近似では捉えきれない非ガウス型フラクチュエーションを示している。
• LDFは ρ(x) = ρ̄(x) において2階微分に不連続性を示し、典型的な分布まわりのフラクチュエーションに非ガウス的性質をもたらす。
• ρa ≠ ρb の場合、LDFは正確に F[a,b]({ρ(x)}; ρa, ρb) = −(b−a)K(ρa,ρb) + ∫[ρ(x)logρ(x) + (1−ρ(x))log(1−ρ(x))]dx + sup_F Bρ(F) として与えられ、Bρ(F) には最適化関数 Fρ(x) が含まれる。
• 固定された平均密度制約の下でLDFを最小化する最適な密度分布 ρ(x) は、ρa > ρb のとき単調非減少であり、ρa < ρb のとき区分的定数関数となり、臨界密度で相転移を示す。
• ρ(x) = 1 − G′_ρ(x) のとき、関数 F は ρ(x) に関して点ごとの凸性を示し、LDFを最小化するためには、分布が定数でなければならない。
• 導出結果は、ASEPのLDFが平衡自由エネルギーの形を一般化しているが、駆動された非平衡系の性質に起因する非局所補正項を含むことを確認している。