[論文レビュー] Exact results for boundaries and domain walls in 2d supersymmetric theories

Daigo Honda, Takuya Okuda|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、2次元 ${\cal N}=(2,2)$ ゲージ線形スカラー・モデルにおけるB型Dブレーンの超対称局在化を用いて、正確な半球パーティション関数を計算し、その結果がブレーンのK理論的クラスにのみ依存することを示している。異常流入による中央電荷の公式を、局在化に基づく正確な計算によって完成させ、積理論におけるDブレーンとしてのドメインウォールを構成し、AGT双対性を通じて4次元ラインオペレーターと関連づけている。

ABSTRACT

We apply supersymmetric localization to N=(2,2) gauged linear sigma models on a hemisphere, with boundary conditions, i.e., D-branes, preserving B-type supersymmetries. We explain how to compute the hemisphere partition function for each object in the derived category of equivariant coherent sheaves, and argue that it depends only on its K theory class. The hemisphere partition function computes exactly the central charge of the D-brane, completing the well-known formula obtained by an anomaly inflow argument. We also formulate supersymmetric domain walls as D-branes in the product of two theories. In particular 4d line operators bound to a surface operator, corresponding via the AGT relation to certain defects in Toda CFT's, are constructed as domain walls. Moreover we exhibit domain walls that realize the sl(2) affine Hecke algebra.

研究の動機と目的

• 2次元 ${\cal N}=(2,2)$ 理論におけるB型Dブレーンの正確な半球パーティション関数を、超対称局在化を用いて計算すること。
• 半球パーティション関数がブレーンのK理論的クラスにのみ依存することを確立し、中央電荷の異常流入公式を確認・完成させること。
• 2つの理論の積におけるDブレーンとしてドメインウォールを定式化し、AGT双対性を介して4次元ラインオペレーターを実現すること。
• $sl(2)$ アフィンヒッケ代数を2次元 ${\cal N}=(2,2)$ 理論の文脈でドメインウォールによって実現すること。
• ねじれ質量および $G_{\text{F}}$--equivariant 構造を含める枠組みを拡張し、等化K理論へ一般化すること。

提案手法

• 超対称局在化を適用し、B型超対称性を保つDブレーンの半球パーティション関数 $Z_{\text{hem}}({\cal B}; t; m)$ を計算する。
• 半球を $S^2$ の半分とみなす。境界状態 $|{\cal B}\rangle$ と真空状態 $|{\bf 1}\rangle$ を持ち、$Z_{\text{hem}} = \langle{\cal B}|{\bf 1}\rangle$ と表す。
• 局在化スーパーチャージに annihilated される演算子の挿入を伴う経路積分を用い、一般化されたペアリング $\langle{\cal B}|{\tt f}\rangle$ を定義し、パーティション関数を一般化する。
• 等化コherent層の導来圏の枠組みで作業し、パーティション関数がブレーンのK理論的クラスにのみ依存することを示す。
• 2つの理論の積におけるDブレーンとしてドメインウォールを構成し、AGT対応を介して4次元ラインオペレーターを実現可能にする。
• コチェーン写像およびマッピングコーンを用い、収束しない積分を扱い、留数計算および接続公式を用いて位相間（例：$r \gg 0$ から $r \ll 0$）での解析接続を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 ${\cal N}=(2,2)$ 理論におけるBブレーンの半球パーティション関数は、そのK理論的クラスにのみ依存するか？
• RQ2 超対称局在化は、中央電荷の正確な計算を可能にし、異常流入公式を完成させうるか？
• RQ3 2次元 ${\cal N}=(2,2)$ 理論におけるドメインウォールは、2つの理論の積におけるDブレーンとして体系的に構成可能か？
• RQ4 このような2次元理論において、ドメインウォールによって $sl(2)$ アフィンヒッケ代数を実現できるか？
• RQ5 ねじれ質量および $G_{\text{F}}$-equivariance は、半球パーティション関数の構造およびその解析接続にどのように影響するか？

主な発見

• 半球パーティション関数 $Z_{\text{hem}}({\cal B})$ は、ブレーンのK理論的クラスにのみ依存し、タキオン凝縮下での中央電荷の位相的不変性を確認した。
• 正確なパーティション関数はDブレーンの中央電荷を計算し、従来は大体積極限でのみ知られていた異常流入公式を完成させた。
• $\mathbb{P}^1$ ブレーン $i_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ の場合、$r \gg 0$ 位相におけるパーティション関数は、$\Gamma$-関数および $t$, $m_f$, $\tilde{m}_f$ における指数関数を含む contour 積分として与えられ、$\text{Re}(t) > 0$ で収束する。
• $r \ll 0$ 位相では、$i_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)[1]$ のパーティション関数は、超幾何関数 ${}_2F_1$ を含む留数の和として表され、$e^t$ および $\Gamma$-比に明示的な依存性を示す。
• 位相間の解析接続は、2つのブレーンのマッピングコーン構成により達成され、問題となる項が除去され、$-2\pi < \theta < 0$ で収束する積分が得られ、既知の接続公式と一致する。
• この構成により、$\Gamma$-関数積分およびモノドロミー性質を介して代数的関係を符号化するパーティション関数を通じて、ドメインウォールによって $sl(2)$ アフィンヒッケ代数が実現された。