[論文レビュー] Two-Sphere Partition Functions and Gromov-Witten Invariants

Hans Jockers, Vijay Kumar+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 86被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、N=(2,2)ゲージ線形セミクラスモデル（GLSM）の二球面分配関数が、Calabi–Yau三様体の量子Kählerモジュライ空間上の正確なKählerポテンシャルを計算することを提案する。これにより、鏡像双対性に依存せずに、種数0のGromov–Witten不変量を直接計算可能となる。この手法は、五次三様体およびRødlandのPfaffian Calabi–Yau三様体に対して検証され、ℙ⁷内の新しいcodimension 4の行列式Calabi–Yau三様体に応用された。その結果、(1,1)型の有理曲線が192本存在すると予測され、幾何的検証も満たしている。

ABSTRACT

Many N=(2,2) two-dimensional nonlinear sigma models with Calabi-Yau target spaces admit ultraviolet descriptions as N=(2,2) gauge theories (gauged linear sigma models). We conjecture that the two-sphere partition function of such ultraviolet gauge theories -- recently computed via localization by Benini et al. and Doroud et al. -- yields the exact Kähler potential on the quantum Kähler moduli space for Calabi-Yau threefold target spaces. In particular, this allows one to compute the genus zero Gromov-Witten invariants for any such Calabi-Yau threefold without the use of mirror symmetry. More generally, when the infrared superconformal fixed point is used to compactify string theory, this provides a direct method to compute the spacetime Kähler potential of certain moduli (e.g., vector multiplet moduli in type IIA), exactly in α'. We compute these quantities for the quintic and for Rødland's Pfaffian Calabi-Yau threefold and find agreement with existing results in the literature. We then apply our methods to a codimension four determinantal Calabi-Yau threefold in P^7, recently given a nonabelian gauge theory description by the present authors, for which no mirror Calabi-Yau is currently known. We derive predictions for its Gromov-Witten invariants and verify that our predictions satisfy nontrivial geometric checks.

研究の動機と目的

• Calabi–Yau三様体のGromov–Witten不変量を鏡像双対性に依存せずに計算するための手法を開発すること。
• N=(2,2) GLSMの二球面分配関数と、IRにおけるCalabi–Yau三様体の量子Kählerモジュライ空間上の正確なKählerポテンシャルとの直接的な関係を確立すること。
• 鏡が未知のCalabi–Yau三様体、たとえばℙ⁷内のcodimension 4の行列式多様体のようなものに対しても、Gromov–Witten不変量を計算すること。
• インシデント対応構成における曲線数え上げを含む、非自明な幾何的チェックを通じて予測を検証すること。

提案手法

• BeniniらおよびDoroudらが導出したように、局所化を用いてUVにおけるGLSMの二球面分配関数を計算する。
• 分配関数が、IRにおけるCalabi–Yau三様体の量子Kählerモジュライ空間上の正確なKählerポテンシャルをもたらすと仮定する。
• Kählerポテンシャルから、特定の解析接続と係数抽出手順を経て、種数0のGromov–Witten不変量を抽出する。
• ℙ⁷内の新しい行列式Calabi–Yau三様体に対しては、著者らが以前に構成した非アーベルGLSM記述を用いて手法を適用する。
• 有理曲線の(1,1)型の数を、ℳ₁,₁上のランク5のバンドルの上位チャーン類を用いたフラッグ多様体内の完全交差により計算する。
• 予測の整合性を、ℳ₁,₁上のインシデント対応およびコホロロジー環構造の両面から検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 鏡像双対性に依存せずに、N=(2,2) GLSMの二球面分配関数からGromov–Witten不変量を直接計算できるか？
• RQ2 GLSMの二球面分配関数が、Calabi–Yau三様体の量子Kählerモジュライ空間上の正確なKählerポテンシャルを符号化しているか？
• RQ3 この手法により、鏡が未知のCalabi–Yau三様体、たとえばcodimension 4の行列式多様体のようなものに対しても、Gromov–Witten不変量を予測できるか？
• RQ4 予測された不変量は、インシデント対応における曲線数え上げといった非自明な幾何的制約を満たしているか？

主な発見

• 二球面分配関数は、五次三様体に対して種数0のGromov–Witten不変量を正確に再現し、既知の結果と一致する。
• RødlandのPfaffian Calabi–Yau三様体に対しても、この手法は期待される不変量を再現し、アーベルGLSMにとどまらない有効性を確認する。
• 本手法により、ℙ⁷内のcodimension 4の行列式Calabi–Yau三様体に対して、(1,1)型の有理曲線が192本存在すると予測され、これは新しい数学的予測である。
• 192本という予測値は、コホロロジー環構造およびℳ₁,₁上のインシデント対応構造との整合性を満たしており、非自明な幾何的チェックを通過する。
• Gromov–Witten不変量の計算は、鏡の構成を回避する高エネルギー理論における直接的計算によって達成される。
• ℳ₁,₁上のランク5のバンドルℱ̂の上位チャーン類c₅(ℱ̂)⁴が192に等しくなることから、予測がc₅(ℱ̂)⁴ = 192により確認される。