[論文レビュー] Exact results in N=8 Chern-Simons-matter theories and quantum geometry

Santiago Codesido, Alba Grassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 64被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、$\mathcal{N}=8$ チャーン=サイモンズ・マター理論（$k=1,2$ のABJ(M)）のグランドポテンシャルおよび分配関数の正確な閉形式表現を導出し、非摂動的領域が唯一のトポロジカル弦振幅（ genus $g=0$ および $g=1$）に著しく簡略化されることを示している。結果はスペクトル曲線上のヤコビ・シータ関数を用いて表現されており、正確な量子化条件を可能にするとともに、分配関数が複素 $N$-平面上の整関数に拡張可能であることを明らかにし、M理論の量子幾何学的構造に及ぼす影響を示している。

ABSTRACT

We show that, in ABJ(M) theories with N=8 supersymmetry, the non-perturbative sector of the partition function on the three-sphere simplifies drastically. Due to this simplification, we are able to write closed form expressions for the grand potential of these theories, which determines the full large N asymptotics. Moreover, we find explicit formulae for the generating functionals of their partition functions, for all values of the rank N of the gauge group: they involve Jacobi theta functions on the spectral curve associated to the planar limit. Exact quantization conditions for the spectral problem of the Fermi gas are then obtained from the vanishing of the theta function. We also show that the partition function, as a function of N, can be extended in a natural way to an entire function on the full complex plane, and we explore some possible consequences of this fact for the quantum geometry of M-theory and for putative de Sitter extensions.

研究の動機と目的

• 高次対称性により簡略化が予想される $\mathcal{N}=8$ ABJ(M) 理論の非摂動的構造を理解すること。
• 摂動的展開を超えて、有限 $N$ におけるグランドポテンシャルおよび分配関数の閉形式表現を導出すること。
• スペクトル曲線およびヤコビ・シータ関数が、完全な量子分配関数をどのように記述するかを特定すること。
• シータ関数の零点を要求することによって、フェルミガスのスペクトル問題に対する正確な量子化条件を確立すること。
• 分配関数が複素 $N$-平面上の整関数に拡張可能であることを検討し、M理論および de Sitter 量子幾何学に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 局所化を用いて $S^3$ 分配関数を行列模型に還元し、$\mathcal{N}=8$ 理論におけるその非摂動的構造を分析すること。
• トポロジカル弦補助理論に寄与するのは唯一 $g=0$ および $g=1$ の振幅であることを示し、これが1ループ正確であることを示すこと。
• 簡略化されたトポロジカル弦データおよびスペクトル曲線の情報を用いて、グランドポテンシャルを閉形式で構成すること。
• スペクトル曲線上のヤコビ・シータ関数を用いて、有限 $N$ 分配関数の生成関数を明示的に構成すること。
• 関連するシータ関数の零点を要求することによって、フェルミガスの正確な量子化条件を導出すること。
• $N$ の関数としての分配関数を複素平面上の整関数に拡張し、その解析的構造を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{N}=8$ ABJ(M) 理論の非摂動的領域は、$\mathcal{N}=6$ 理論と比較してどのように簡略化されるか？
• RQ2 有限 $N$ におけるグランドポテンシャルおよび分配関数に対して、閉形式表現を導出可能か？
• RQ3 ヤコビ・シータ関数は、スペクトル曲線上の完全な量子分配関数をどのように記述するか？
• RQ4 フェルミガスのスペクトル問題に対する正確な量子化条件は、分配関数の構造からどのように導かれるか？
• RQ5 分配関数が複素 $N$-平面上の整関数に拡張可能であることは、M理論および量子幾何学にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• $\mathcal{N}=8$ ABJ(M) 理論の非摂動的領域は、唯一 $g=0$ および $g=1$ のトポロジカル弦振幅に制限され、補助理論が1ループ正確であることを示している。
• グランドポテンシャルの閉形式表現が導出され、分配関数の $N \to \infty$ 漸近挙動を完全に決定している。
• スペクトル曲線上のヤコビ・シータ関数を用いて、有限 $N$ 分配関数の生成関数が明示的に構成されている。
• 関連するシータ関数の零点からフェルミガスのスペクトル問題に対する正確な量子化条件が得られ、先行する予想が裏付けられている。
• 分配関数は自然に複素 $N$-平面上の整関数に拡張可能であり、量子幾何学的構造に深いつながりを示している。
• 結果は、M理論的領域におけるストリング的幾何学の非摂動的完成を提供し、de Sitter および非幾何的相への影響を示唆している。