[論文レビュー] Examples of Special Lagrangian Fibrations

Mark Gross|ArXiv.org|Dec 1, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、トーラス対称性を用いて非コンパクトなカラビ＝ヤウ多様体上にグローバルな特殊ラグランジュ被覆を構成し、以前の研究で得られた位相的被覆が、ややきめのよい計量条件のもとで実際に特殊ラグランジュ被覆に一致することを示している。また、トーリック・ゴレンシュタイン特異点のクレパント解消と、孤立したトーリック特異点の平滑化を用いて、新たな例を提示し、極限計量データと双対アフィン構造に基づいた弱化されたSYZ予想を提起している。

ABSTRACT

We explore a number of examples of special Lagrangian fibrations on non-compact Calabi-Yau manifolds invariant under torus actions. These include fibrations on crepant resolutions of canonical toric singularities (already found by Goldstein), proper versions of these fibrations, and fibrations on flat deformations of canonical toric singularities. We do this with an eye towards understanding the global structure and discriminant loci of such fibrations. The paper ends with some speculation, both about local mirror symmetry, and the connections of this work with the work of W.D. Ruan and D. Joyce. In the last section, we discuss the philosophy of the Strominger-Yau-Zaslow conjecture in the light of a number of recent ideas of myself and Wilson, Kontsevich and Soibelman, and Joyce.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなカラビ＝ヤウ多様体上に、トーラス群作用を用いて明示的なグローバルな特殊ラグランジュ被覆の例を構成すること。
• トーリック・ゴレンシュタイン特異点のクレパント解消上に以前に構成された位相的被覆が、ややきめのよいケーラー計量条件のもとで実際に特殊ラグランジュ被覆であることを示すこと。
• 孤立したトーリック・ゴレンシュタイン特異点の平坦変形（平滑化）を用いて、特殊ラグランジュ被覆の新たな例を提供すること。
• 特異点の余次元が1となる判別集合の問題を回避するため、極限計量データと双対アフィン構造に基づいた弱化されたSYZ予想を提起すること。
• S¹対称性とヘッセ多様体上のレジェンドル双対性を用いて、クレパント解消上の被覆と平滑化上の被覆の双対性を調査すること。

提案手法

• ケーラー形式 $\omega$ と正則 $n$-形式 $\Omega$ を保存する、ほぼカラビ＝ヤウ多様体 $(X, \rho, \theta)$ 上のトーラス作用 $T^m$ を用いる。
• シンプレクティック還元を適用し、商 $Z_p = \mu_0^{-1}(p)/T$ 上に還元されたシンプレクティック形式 $\omega_{\text{red}}$ と還元された $n-m$-形式 $\Omega_{\text{red}}$ を構成する。
• 部分多様体 $M_{\text{red}} \subset Z_p$ が $\omega_{\text{red}}, \Omega_{\text{red}}$ に関して特殊ラグランジュであれば、その引き戻し $M \subset \mu_0^{-1}(p)$ は $X$ において特殊ラグランジュであることを確立する。
• 写像 $f = (\mu_0, g): X \to \mathfrak{t}^* \times Y$ を用いてグローバル被覆を構成し、$g$ が $T$-不変であると仮定することで、還元されたファイバーが特殊ラグランジュであればファイバーが特殊ラグランジュであることを保証する。
• 特殊ラグランジュカレントの極限を用いて、ベースをコンパクト化することで、コンパクトな被覆をもたらす、この構成の新たなバリエーションを導入する。
• 特殊ラグランジュ被覆をもつ退化族 $\mathcal{X}_{t_i}$ に関連する計量空間 $B_i$ の極限をとることで、ベース $B_\infty$ 上に極限計量構造を提起する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック・ゴレンシュタイン特異点のクレパント解消上に構成された位相的被覆が、どのような条件下で真の特殊ラグランジュ被覆に一致するか。
• RQ2 平坦変形（平滑化）を用いて、孤立したトーリック・ゴレンシュタイン特異点上に特殊ラグランジュ被覆を構成できるか。
• RQ3 トーリック・カラビ＝ヤウ幾何における極端な遷移（解消 → 特異点 → 平滑化）の下で、特殊ラグランジュ被覆はどのように変化するか。
• RQ4 S¹対称性が、クレパント解消上の被覆の双対被覆を構成する役割を果たすのはどのようなものか。また、これはSYZ予想とどのように関係するか。
• RQ5 判別集合が余次元1にまでなる場合に、極限計量およびアフィン構造データに基づいた、SYZ予想の弱化された形をどのように定式化できるか。

主な発見

• 文献[10]で構成された、トーリック・ゴレンシュタイン特異点のクレパント解消上における位相的被覆が、リッチ平坦とは限らないややきめのよいケーラー計量 $\omega$ の条件下で、実際に特殊ラグランジュ被覆であることが示された。
• 文献に未だカバーされていない、孤立したトーリック・ゴレンシュタイン特異点の平滑化上に、特殊ラグランジュ被覆の新たな例が構成された。
• 本稿では、特異点の解消、特異点への退化、そして再び平滑化するという極端な遷移が、特殊ラグランジュ被覆に変換を引き起こすことを示し、解消上の被覆と平滑化上の被覆の間の双対性を明らかにした。
• 判別集合 $\Delta = B_\infty \setminus B_0$ がハウスドルフ余次元2であるような、コンパクトな計量空間 $B_\infty$ が、密度を持つ開きのMonge-Ampère部分多様体 $B_0$ を持つ、弱化されたSYZ予想を提起した。
• 家族 $\mathcal{X}_{t_i}$ の収束のもとで、極限計量空間 $B_\infty$ は、極限カラビ＝ヤウ多様体 $X_\infty$ のベースと、スケーリングを除いて等長であると予想された。
• ベース上の計量ポテンシャルのレジェンドル変換が双対アフィン構造を誘導し、解消上の被覆と平滑化上の被覆の間の双対性を示唆した。これはコンツェビッチ＝ソイベルマンの哲学と整合的である。