[論文レビュー] Existence and stability of standing waves for nonlinear fractional Schrödinger equations with Hartree type nonlinearity

Dan Wu|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、質量下臨界な分数階非線形シュレーディンガー方程式にハートリー型非線形項を含む場合について、定常波解の存在および軌道安定性を確立する。濃縮・コンパクトネスの原理と対称減少再配分を用いて、最小化子が存在し、正で、平行移動および位相を除いて回転対称かつ単調減少であることを証明し、方程式の時間発展において $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 内で安定な集合をなすことを示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider the nonlinear fractional Schrödinger equations with Hartree type nonlinearity. We obtain the existence of standing waves by studying the related constrained minimization problems by applying the concentration-compactness principle. Via symmetric decreasing rearrangements, we also show that the standing waves, up to a translations and phases, are positive symmetric nonincreasing functions. Moreover, we prove that the set of minimizers is a stable set for the initial value problem of the equations, that is, a solution whose initial data is near the set will remain near it for all time.

研究の動機と目的

• 質量下臨界な分数階非線形シュレーディンガー方程式にハートリー型非線形項を含む場合、定常波解の存在を確立すること。
• 対称減少再配分を用いて、これらの定常波の対称性および減衰性質を同定すること。
• 方程式の時間発展において、$H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 範囲で最小化子の集合が軌道安定であることを証明すること。
• 非局所的相互作用を有する質量下臨界な分数階NLSにおける基底状態の集合の安定性に関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• 質量固定のもとでのエネルギーの制約付き最小化問題として定常波問題を定式化し、関数 $E(u)$ を $M(u) = q$ の下で最小化する。
• 濃縮・コンパクトネスの原理を適用して、最小化列が平行移動を除いて相対コンパクトであることを証明する。
• 対称減少再配分を用いて、最小化子が回転対称的で単調減少的かつ正であることを示す（位相および平行移動を除く）。
• 最小化子の集合 $G_q$ が方程式のフローに関して不変であり、背理法とノルム収束を用いて安定性基準を満たすことを証明する。
• 質量およびエネルギーの保存則を用いて、$G_q$ の近傍にある摂動初期データの時間発展を追跡し、エネルギーおよび質量が有界に保たれることを保証する。
• $|g| \in G_q$ かつ $|g| > 0$ であることから、解の位相が定数であることを示し、解が位相シフトを施した正の回転対称関数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量下臨界な分数階NLSにハートリー型非線形項を含む場合、質量固定のもとでのエネルギー汎関数の最小化子は存在するか？
• RQ2 与えられた非線形項のもとで、定常波解は位相および平行移動を除いて対称的かつ正であるか？
• RQ3 最小化子の集合 $G_q$ が方程式の時間発展において $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 範囲で安定であることを示せるか？
• RQ4 Hörmander-Sobolev空間の観点から、定常波解の正則性および点での挙動はどのように記述できるか？
• RQ5 変分的および再配分的議論により、非回転対称解や非正の解を除外することは可能か？

主な発見

• 質量固定のもとでのエネルギーの制約付き最小化問題は $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 内に最小化子をもつため、$G_q$ は空でない。
• すべての最小化列は平行移動を除いて収束するため、最小化子の集合は列挙的コンパクトである。
• すべての最小化子は正であり、連続的で、Hörmander-Sobolev空間 $C^{[2\alpha],2\alpha-[2\alpha]}(\mathbb{R}^d)$ に属する。
• 適切な平行移動および位相回転を施した後、定常波解は対称的かつ単調減少的である。すなわち、$G_q \subset \{e^{i\theta}u(\cdot - y) \mid u \in S\}$ が成り立つ。
• 集合 $G_q$ は $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$-安定性を有する：$G_q$ の近傍から出発する解は、すべての時間において一様にそれから離れることはない。
• $L^2$-ノルムおよびエネルギーは保存され、近い最小化子列のスケーリング初期データは $H^\alpha$-ノルムで最小化子に収束する。