[論文レビュー] Existence and symmetric result for Liouville-Weyl fractional nonlinear Schrödinger equation

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、変分法および対称減少再配分技術を用いて、混合リウヴィル＝ヴァイエル分数階微分を有する1次元分数階非線形シュレーディンガー方程式に対して正の解の存在を確立する。主な貢献は、従来の要請よりも弱い条件下でのポテンシャルに関する仮定のもとで、基底状態解が径対称的かつ正であることを証明することであり、強制的でないポテンシャルへの存在結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We study the existence of positive solution for the one dimensional Schrödinger equation with mixed Lioville-Weyl fractional derivatives \begin{eqnarray*}\label{Eq00} _{t}D_{\infty}^α({_{-\infty}}D_{t}^αu(t)) + V(t) u(t) = & f(u(t)),\;\;t\in \mathbb{R}\\ u\in H^α(\mathbb{R}). onumber \end{eqnarray*} Furthermore, we analyse radial symmetry property of these solutions. The proof is carried out by using variational methods jointly with comparison and rearrangement argument.

研究の動機と目的

• 混合左・右分数階微分を含む1次元シュレーディンガー方程式に対して正の解の存在を確立すること。
• 再配分技術を用いてこれらの解の径対称性特性を分析すること。
• 分数階境界値問題に関する先行研究で一般的に要求されるポテンシャル $ V(t) $ の強制性仮定を弱めること。
• 非局所作用素を有する方程式に対して、分数階ソボレフ空間枠組みの中で臨界点理論を適用すること。
• 適切なエネルギー汎関数を構成し、コンパクト性条件を検証することで、混合微分を有する分数階方程式への変分法の応用を拡張すること。

提案手法

• 分数階ソボレフ空間 $ H^\tau(\mathbb{R}) $ における変分枠組みとして問題を定式化し、$ \alpha \in (1/2,1) $ を満たす。
• 分数階微分とポテンシャル項の内積を含む変分形式を通じて弱解を定義する。
• エネルギー汎関数 $ I(u) $ に対してマウンテンパス定理を適用し、幾何的条件を検証することで、臨界値 $ c > 0 $ を保証する。
• 関数 $ u $ の対称減少再配分 $ u^* $ を用いてエネルギー準位を比較し、最小化子の対称性を証明する。
• 分数階ポリヤ＝シュレーディンガー不等式を用いて、$ I(u^*) \leq I(u) $ を示し、再配分によってエネルギーが保存または低下することを示す。
• 濃縮・コンパクト性原理と $ H^\alpha(\mathbb{R}) $ 上での再配分写像の連続性を組み合わせ、対称的臨界点を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合リウヴィル＝ヴァイエル分数階微分を有する分数階シュレーディンガー方程式が、$ H^\alpha(\mathbb{R}) $ 内で正の解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 ポテンシャル $ V(t) $ の強制性を仮定しないで、基底状態解の存在を確立できるか？
• RQ3 関数 $ f $ および $ V $ に適切な仮定を課した場合、基底状態解は原点を中心として径対称的かつ単調減少であるか？
• RQ4 対称減少再配分は、分数階シュレーディンガー方程式の文脈におけるエネルギー汎関数にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非局所混合微分を有する方程式に臨界点理論を適用可能な変分枠組みは何か？

主な発見

• エネルギー汎関数 $ I(u) $ はマウンテンパス幾何を満たし、臨界値 $ c > 0 $ が保証される。これは非自明な解に対応する。
• 仮定 $ (f_0) $--$ (f_3) $、$ (V_1) $、および $ (V_3) $ の下で、関数列 $ u_n $ は $ H^\alpha(\mathbb{R}) $ 内で強収束し、$ I(u) = c $ かつ $ I'(u) = 0 $ を満たす解 $ u $ に収束する。
• 任意の解の対称減少再配分 $ u^* $ は $ I(u^*) \leq I(u) $ を満たし、等号が成り立つのは $ u $ がすでに対称である場合に限る。
• 基底状態解 $ u $ は径対称的かつ単調減少であり、すなわち $ u(x) = u^*(x) $ であり、$ u^* $ は同じ $ L^2 $-ノルムを持つすべての関数の中で $ I $ の最小化子である。
• 証明は、定理5.1によって確立された $ H^\alpha(\mathbb{R}) $ 上での再配分写像の連続性に依存しており、再配分された経路の収束を保証する。
• 本結果は、[22] や他の先行研究で用いられる強制性条件よりも弱い $ V(t) $ に関する仮定のもとで成立するため、変分法が分数階シュレーディンガー方程式に応用可能な範囲を拡大する。